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相关试卷

1、设直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 两两垂直，且三条直线与平面 $α_{1} ， α_{2} ， α_{3}$ 所成角如下表所示：
夹角
$α_{1}$
$α_{2}$
$α_{3}$
$l_{1}$
$\frac{π}{6}$
0
$θ_{3}$
$l_{2}$
$\frac{π}{4}$
$θ_{2}$
0
$l_{3}$
$θ_{1}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{4}$
注：夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（）

A、 $θ_{1} = \frac{π}{3}$ B、 $θ_{1} = θ_{2}$ C、 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 互余 D、 $3 θ_{1}$ 和 $2 θ_{3}$ 互补

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2、点 $P$ 在曲线 $y = ln x$ 上，点 $Q$ 是点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点，点 $R$ 是点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点，点 $S$ 是点 $R$ 关于直线 $y = x$ 的对称点.设 $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O Q} + \vec{O R} = \vec{0}$ B、点 $S$ 在曲线 $y = - e^{- x}$ 上 C、 $∠ S P O$ 为定值 D、当且仅当点 $P$ 与点 $R$ 重合时， $|Q S|$ 取最小值 $\sqrt{2}$

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3、盒中有 3 个球，其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球，每次取 1 个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 $ξ ， E (ξ) ， D (ξ)$ 分别为随机变量 $ξ$ 的均值与方差，则下列结论正确的是（）

A、 $P (ξ = 0) = \frac{1}{3}$ B、 $E (ξ) = 1$ C、 $E (3 ξ + 1) = 3$ D、 $D (3 ξ + 1) = 6$

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4、已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为奇函数，设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $g (x + 1)$ 为奇函数，且 $g (0) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} k g (2 k)$ $=$ （）

A、-1012 B、-506 C、506 D、1012

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} = 6, S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ D、 $S_{n} = 3^{n} + 1$

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6、已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A ， B$ 两点， $A$ 在第一象限，若以 $A F$ 为直径的圆经过(0，2)，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{17}{4}$ D、5

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7、已知 $\vec{a}$ 为单位向量，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $2 \vec{a}$ ，且 $(4 \vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，设 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) \cdot f^{'} (x) + x > 0$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) < f (- 1)$ B、 $f (1) > f (- 1)$ C、 $|f (1)| > |f (- 1)|$ D、 $|f (1)| < |f (- 1)|$

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9、“ $tan α \geq 0$ ”是“ $sin 2 α \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、复数 $z = \frac{|3 - 4 i|}{3 - 4 i}$ 的共轭复数在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知集合 $A = \{- 1, 0, a\}, B = \{- 1, 2, 3\}$ .若 $A \cup B = \{- 1, 0, 2, 3\}$ ，则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{0, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, 2, 3\}$ D、 $\{0, - 1, 2, 3\}$

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12、直线 $l_{1} : x + 2 y - 11 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + y - 10 = 0$ 相交于点P，直线l经过点P.

(1)、若直线 $l ⊥ l_{2}$ ，求直线l的方程；

(2)、若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

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13、若存在正实数x，y满足于 $\frac{4}{y} + \frac{1}{x} = 1$ ，且使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$

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14、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (1 + 2 a) x + 2 a < 0$ 的解集中恰有 $2$ 个整数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最大值为4 C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4 y} - x$ 的最小值为0

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16、下列命题是真命题的为（）

A、若 $a > b > 0 > c > d$ ，则 $a b > c d$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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17、若函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 2 a x - x (a > 0)$ ，若 $x \in [1, 3]$ 时， $g (x)$ 的最大值为3，求a的值；

(3)、若 $a = 1$ 时，总 $\exists x \in [\frac{1}{3}, 1]$ ，对 $\forall m \in [1, 4]$ ，使得 $f (\frac{1}{x}) + \frac{3 - 2 m}{x} \leq b^{2} - 2 b - 2$ 恒成立，求实数b的取值范围．

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18、解答下列各题.

(1)、若 $x > 3$ ，求 $x + \frac{4}{x - 3}$ 的最小值.

(2)、若正数 $x, y$ 满足 $9 x + y = x y$ ，
①求 $x y$ 的最小值.
②求 $2 x + 3 y$ 的最小值.

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19、函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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20、如图所示：多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A B E F$ 为直角梯形，且 $A F / / B E$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = B E = 2 A F = 2$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、若直线 $D A$ 与平面 $A C F$ 所成的角为 $60 °$ ，求平面 $A C F$ 与平面 $C E F$ 所成角的正弦值．

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夹角	$α_{1}$	$α_{2}$	$α_{3}$
$l_{1}$	$\frac{π}{6}$	0	$θ_{3}$
$l_{2}$	$\frac{π}{4}$	$θ_{2}$	0
$l_{3}$	$θ_{1}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$