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相关试卷

1、在对数式中 $\log_{(x - 1)} (3 - x)$ ，实数 $x$ 的取值范围是．

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2、若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为．

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3、对于四个正数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，若 $a d < b c$ ，那么称 $(a, b)$ 是 $(c, d)$ 的“不足序列”.

(1)、对于3，4，5，7，试求 $(3, 5)$ 的“不足序列”；

(2)、对于四个正数 $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $T$ ，若 $(P, Q)$ 是 $(R, T)$ 的“不足序列”，试判断： $\frac{R}{T}$ ， $\frac{P}{Q}$ ， $\frac{P + R}{Q + T}$ 之间的大小关系，并说明理由；

(3)、设正整数满足条件：对集合 $\{m| 0 < m < 2024\}$ 内的每个 $m \in N$ ，总存在正整数 $k$ ，使得 $(m, 2024)$ 是 $(k, n)$ 的“不足序列”，且 $(k, n)$ 是 $(m + 1, 2025)$ 的“不足序列”，求：正整数 $n$ 的最小值.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x} + a}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、解不等式 $f (x) > 2$ ；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{3} \frac{x}{3} \cdot \log_{3} \frac{x}{9} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [3, 27]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $\forall a$ ， $b \in [- 1, 1]$ ， $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并证明你的结论；

(2)、若 $m^{2} - 5 m t - 6 \leq f (x)$ 对 $\forall x \in [- 1, 1]$ ， $\forall m \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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6、已知集合 $A = \{x| m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ，函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 的定义域为 $B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、计算求值：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + {(3 - 2 \sqrt{2})}^{0} - {(\frac{81}{16})}^{\frac{1}{4}} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - π)}^{4}}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ ，求 $\frac{x + x^{- 1}}{x^{2} + x^{- 2} - 2}$ 值.

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8、已知 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 2, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - a f (x) - 1$ 有5个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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9、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} + \lg (x - 2)$ 定义域为．

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10、指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知 $U$ 为全集且元素个数有限，对于 $U$ 的任意一个子集 $S$ ，定义集合 $S$ 的指示函数 $1_{S} (x)$ ， $1_{S} (x) = \{\begin{cases} 1, x \in S \\ 0, x \in ∁_{U} S \end{cases}$ ，若 $A$ ， $B \subseteq U$ ，则（）
注： $\sum_{x \in M} f (x)$ 表示 $M$ 中所有元素 $x$ 所对应的函数值 $f (x)$ 之和（其中 $M$ 是 $f (x)$ 定义域的子集）.

A、 $1_{A \cap B} (x) \leq 1_{A} (x) \leq 1_{A \cup B} (x)$ B、 $\sum_{x \in A} 1_{A} (x) < \sum_{x \in U} 1_{A} (x)$ C、 $\sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x) = \sum_{x \in U} (1_{A} (x) + 1_{B} (x) - 1_{A} (x) 1_{B} (x))$ D、 $\sum_{x \in U} (1 - 1_{A} (x)) (1 - 1_{B} (x)) = \sum_{x \in U} 1_{U} (x) - \sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x)$

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11、已知 $a$ ， $b$ 均为正实数，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ B、 $\frac{b + 1}{a + b + 1} > \frac{b}{a + b}$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \geq \sqrt{a b}$ D、 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 2} \geq \sqrt{a} + \sqrt{a + 3}$

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12、下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

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13、已知函数 $f (x) = \ln (e^{2 x} + e^{2}) - x$ ，若 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则（）

A、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 2 > 0$ B、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 2 < 0$ C、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 4 > 0$ D、若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - 4 < 0$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x (e^{x} - e^{- x})}{|x| - 1}$ ，则 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15、已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1200万台（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）（）

A、2028 年 B、2029年 C、2030年 D、2031年

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16、已知 $x \geq 0$ ， $y > 2$ ，且 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y - 2} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、9

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17、已知幂函数 $f (x) = (- 2 m^{2} + m + 2) x^{m + 1}$ 为偶函数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

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18、下列关于 $x$ ， $y$ 的关系式中，能表示 $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 $x + |y| = 1$ B、 $x^{2} + y^{2} = 1$ C、 $2 x^{2} + y = 1$ D、 $2 x + y^{2} = 1$

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19、集合 $U = \{x \in N| 1 \leq x \leq 6\}$ ， $A = \{3, 4, 5\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 6\}$ D、 $\{1, 2, 6\}$

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20、已知点 $P (1, 3)$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ .直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于A、B两点， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、①若线段AB的中点为 $D$ ，求点 $D$ 的轨迹方程 $C$ ；
②过点 $P$ 作直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于两点M、N，设 $Q (1, 0), Q M 、 Q N$ 的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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