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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $2 π$

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2、已知z为复数，则 $|z^{2}| = 1$ 是 $| z |^{2} = 1$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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3、已知集合 $M = \{(x, y) |y = 1 - \frac{x}{2}\}$ ， $N = \{(x, y) |\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1\}$ ，则 $M \cap N$ 的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无数

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4、定义：若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n} (p, q \in R)$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“线性数列”.

(1)、已知 $\{a_{n}\}$ 为“线性数列”，且 $a_{1} = 2, a_{2} = 8, a_{3} = 24, a_{4} = 64$ ，证明：数列 $\{a_{n + 1} - 2 a_{n}\}$ 为等比数列.

(2)、已知 $a_{n} = {(1 + \sqrt{2})}^{n - 1} + {(1 - \sqrt{2})}^{n - 1}$ .
（i）证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为“线性数列”.
（ii）记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{1}{8}$ .

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5、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $tan A + tan B = \frac{2 c^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $B C = 2$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，求线段 $A D$ 长的取值范围．

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6、在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛都是相互独立的.

(1)、求比赛只需打三局的概率；

(2)、已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

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7、已知双曲线C的中心为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的两个焦点，其中左焦点为 $(- 2 \sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、双曲线 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{°}$ ，求三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积；

(3)、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $(- 4, 0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于M，N两点， $M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$ .证明：点 $P$ 在定直线上.

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8、茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 $100^{°} C$ 的水泡制，待茶水温度降至 $60^{°} C$ 时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 $/ \min$
0
1
2
3
4
5
水温 $/^{°} C$
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27
设茶水温度从 $100^{°} C$ 经过 $x \min$ 后温度变为 $y^{°} C$ ，现给出以下三种函数模型：
① $y = c x + b (c < 0, x \geq 0)$ ；
② $y = c a^{x} + b (c > 0, 0 < a < 1, x \geq 0)$ ；
③ $y = \log_{a} (x + c) (a > 1, c > 0, x \geq 0)$ .

(1)、从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

(2)、根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301, \lg 3 \approx 0.4771$ ）；

(3)、考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.

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9、已知 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < 4 π$ ，函数 $f (x) = \sin x$ 在点 $(x_{i}, \sin x_{i}) (i = 1, 2, 3)$ 处的切线均经过坐标原点，则（）

A、 $\frac{\tan x_{1}}{x_{1}} < \frac{\tan x_{3}}{x_{3}}$ B、 $\frac{\tan x_{1}}{x_{1}} > \frac{\tan x_{3}}{x_{3}}$ C、 $x_{1} + x_{3} < 2 x_{2}$ D、 $x_{1} + x_{3} > 2 x_{2}$

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10、已知 $a > b > 0$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{b^{3}} > \frac{1}{a^{3}}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a c < b c$ D、 $\frac{b + m}{a + m} < \frac{b}{a}$

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11、已知 $\sin α - \sqrt{3} \cos α = \frac{1}{2}, \cos (α + \frac{π}{6}) =$ ．

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12、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 $x (x \in N^{*})$ 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 $10 (a - \frac{3 x}{500})$ 万元 $(a > 0)$ ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 $0.2 x %$ ．

(1)、若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)、若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 $a$ 的取值范围是多少？

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13、已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b}{x^{2} + 1}, f (0) = - 1, f (1) = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (2 x^{2} + 2) - f (8 x^{2} - x + 1) \leq 0$ ．

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in (0, 4]$ 时， $f (x) \leq a x + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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15、已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x | x < 1$ 或 $x > 2\}$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）解不等式 $a x^{2} - (a c + 2) x + 2 c < 0$ ．

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16、在“① $A \cap B = \emptyset$ ， ② $A \cap B \neq \emptyset$ ”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合 $A = {x ∣ 2 a - 3 < x < a + 1}, B = {x ∣ 0 < x \leq 1}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数 $a$ 的取值范围．

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17、甲去水果店里买水果，店老板说店里只有一个两边臂长不相等的天平．店老板分别将水果放在天平两端各称一次，获得两个重量： $m_{1} = 2, m_{2} = 2.2$ （单位： $kg$ ）．店老板提议按 $\frac{m_{1} + m_{2}}{2} = 2.1$ 作为真实的重量进行付款，请问该提议是否对甲有利？（填是/否）．水果的真实重量与老板提议的重量之差为．

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a - 2) x^{2} + x + 2 + b$ 是奇函数，则 $a^{b}$ 的值为．

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19、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x = 0\}$ ，则集合 $A$ 的子集个数是．

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20、已知幂函数 $f (x)$ 的图像经过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的值域是 $(0, + \infty)$ C、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、 $g (x) = f (x + 1) - f (x)$ 是 $(0, + \infty)$ 上的增函数

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时间 $/ \min$	0	1	2	3	4	5
水温 $/^{°} C$	100	91	82.9	78.37	72.53	67.27