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相关试卷

1、下列为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2 B、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为3 C、函数 $y = 3 x - \frac{4}{x} (x \leq - 1)$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2

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2、某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产 $x$ 台，需另投入生产成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + 10 x, 0 \leq x \leq 15 \\ 71 x + \frac{900}{x + 8} - 752, x > 15 \end{array}$ ，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求该企业投资生产这批新型机器的年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式（利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）；

(3)、这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

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3、已知定义域为 $[- 5, 5]$ 的奇函数 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线．对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 5]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ ，则满足 $(2 m - 1) f (2 m - 1) \leq (m + 4) f (m + 4)$ 的实数 $m$ 的取值范围为．

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4、△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为 $x - 2 y = 0$ 和 $x + y - 1 = 0$ .

(1)、求BC所在直线的方程.

(2)、设 $N (3, - 2)$ ，直线 $l$ 过线段 $A N$ 的中点M且分别交 $x$ 轴与 $y$ 轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△ $P O Q$ 面积最小时直线 $l$ 的方程；.

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5、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ．记向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ，向量 $\vec{A D} = \vec{b}$ ，向量 $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、取 $B_{1} C_{1}$ 的中点M，用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 来表示向量 $\vec{A M}$ ；

(2)、求向量 $\vec{A C_{1}}$ 和向量 $\vec{B A_{1}}$ 所成角的余弦值．

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6、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与直线 $B_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ C、存在点 $M$ ，使得三棱锥 $D_{1} - C_{1} D M$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、不存在点 $M$ ，使得 $α > β$ ，其中 $α$ 为二面角 $M - A A_{1} - B$ 的大小， $β$ 为直线 $M A_{1}$ 与直线 $A B$ 所成的角

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7、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{2}{9}, - \frac{4}{9}, - \frac{4}{9})$ B、 $(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9})$ C、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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9、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ ， $M$ 为圆 $C$ 上一动点， $N$ 为直线 $l$ 上一动点，定点 $P (- 7, - 4)$ ，则 $| M N | + | P N |$ 的最小值为.

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10、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x |- 1 < x < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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11、下列命题不正确的是（）

A、经过定点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线都可以用方程 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ 表示 B、直线 $l$ 过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，倾斜角为 $90 °$ ，则其方程为 $x = x_{0}$ C、在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ 来表示 D、直线 $y = x + 2$ 在 $x$ 轴上截距为2

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12、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ， $B = {1, a}$ ，若 $A \cap B = {3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${- 1, 3}$ C、 ${- 1, 1, 3}$ D、 ${- 3, - 1, 3}$

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13、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, A D = 3, A A_{1} = 4, P$ 是线段 $B C_{1}$ 上异于 $B, C_{1}$ 的一点，则 $C P + P D_{1}$ 的最小值为.

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14、已知以点 $C (t, \frac{2}{t}) (t > 0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求证： $△ A O B$ 的面积为定值．

(2)、设直线 $2 x + y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|O M| = |O N|$ ，求圆 $C$ 的方程．

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ ， $Q$ 分别是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $|P B| + |P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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15、设集合 $A = \{1, 2, m\}$ ，其中 $m$ 为实数，令 $B = \{a^{2} |a \in A\}$ ， $C = A \cup B$ ，若 $C$ 中的所有元素之和为6， $C$ 中的所有元素之积为．

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16、随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成 $A, B, C$ 三个小组，其中 $A$ 组15人， $B$ 组15人， $C$ 组10人.

(1)、第一轮测试按小组 $A, B, C$ 顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.
①求最后一名同学来自 $A$ 组的条件下， $B$ 组同学比 $C$ 组同学提前完成测试的概率；
②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求 $A$ 组和 $B$ 组同学全部完成测试所需时间的期望.

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17、如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = 2 D C$ ， $F$ 是 $B E$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是正三角形，且 $E A = A B = 2$ ，求直线 $A D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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18、命题“ $\forall x > 2, x^{2} - 1 > 0$ ”的否定是.

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19、已知函数 $f (x) = x + a e^{x - 1}$ ， $g (x) = x - a e^{- x} + 1 (a > 0)$ 的零点分别为 $m$ ， $n$ .

(1)、若 $a = e^{2}$ ，求 $m$ ；

(2)、是否存在 $a$ ，使 $m + n = 0$ ？说明理由；

(3)、若 $k \leq m + n < 0 (- 1 < k < 0)$ ，用含 $k$ 的代数式表示 $m - n$ 最大值.

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20、如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P B = 2$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，设 $E$ 是棱 $P B$ 上一点，三棱锥 $E - A C D$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求 $B E$ ；

(3)、求二面角 $E - C D - A$ 的正弦值.

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