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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ；

(3)、若 $S_{n} \leq 2 a_{n} - 4 n - λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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2、1.如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD.

(1)、证明：CD⊥面PAD；

(2)、求点M到平面PAC的距离；

(3)、求二面角 $B - A M - C$ 的余弦值.

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3、已知 $x \in$ R ，则“ $|x - 3| < 1$ ”是“ $- x^{2} - x + 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、 $⌈x⌉$ 表示大于或者等于 $x$ 的最小整数， $⌊x⌋$ 表示小于或者等于 $x$ 的最大整数．设 $\{a_{n}\}$ 为 $a_{1} = 1$ 的单调递增数列，且满足 $a_{n + 1}^{2} + 16 a_{n}^{2} + 1 - 2 (a_{n + 1} + 4 a_{n}) - 8 a_{n} a_{n + 1} = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2} = 9$ B、 $a_{2025}$ 至多有 $2^{2022}$ 种取值可能 C、 $\frac{1}{\sqrt[4]{a_{1}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{a_{2}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{a_{n}}} \leq \sqrt{2} + 2$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} (⌊\frac{\sqrt{a_{k}}}{2^{k - 1}}⌋ + ⌈\frac{\sqrt{a_{k}}}{2^{k - 1}}⌉) = 3 n$

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5、已知直线 $l : 3 x - 2 y - 6 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $M (1, - 2)$ ，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} // l$ ，且直线 $l_{2}$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $\sqrt{13}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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6、直线 $l : (m + 3) x + (m - 2) y - m - 2 = 0$ ，点 $A (- 2, - 1)$ ， $B (2, - 2)$ ，若 $l$ 与线段AB相交，则 $m$ 的范围为（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- \frac{3}{2}, 8]$ D、 $(4, + \infty)$

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7、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + m x + n$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[a, a + 2]$ 上的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的值域；

(3)、若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的不动点．函数 $g (x) = f (x) - t x + t$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值．

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8、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 对称，证明： $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = x - \frac{e^{2}}{2} + ln \frac{e^{c} x}{e^{2} - x}$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $f (\frac{e^{2}}{2023}) + f (\frac{2 e^{2}}{2023}) + f (\frac{3 e^{2}}{2023}) + \dots + f (\frac{2022 e^{2}}{2023}) \leq 1011 (a + b)$ ，且不等式 $λ (a + 2 c) b \leq 2 a c + a^{2} + 2 b^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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9、已知 $f (2^{x}) = x^{2} - 2 x + 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $g (x) = \frac{x^{2} + (a - 2) x + 5 - a}{x - 1}$ ，若对任意 $x_{1} \in [2, 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [2, 4]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值.

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10、已知函数 $f (x) = - x^{2} - a (b - a) x - b$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 3, 1)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 在 $R$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.

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11、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ 都满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 4$ ，则 $f (- 2024) + f (2024) =$ ．

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12、设 $a = \log_{3} 6, b = 2^{1.2}, c = {0.5}^{1.2}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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13、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}, \overset{⃑}{A D} = \vec{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{B M} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\overset{⃑}{A C_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $\cos ⟨\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C_{1}}⟩ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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14、古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高 $O P = 4$ ，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 $E F ⊥ A B$ ，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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15、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M, P N,$ $M, N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $90^{\circ}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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16、设 $a, b \in R$ ，则“ $\{\begin{array}{l} a + b > 2 \\ a b > 1 \end{array}$ ”是“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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17、已知集合 $A = \{x | 1 \leq x < 5\}, B = \{x | 3 < x \leq 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 1 \leq x \leq 7\}$ B、 $\{x | 3 < x < 5\}$ C、 $\{x | 3 \leq x \leq 5\}$ D、 $\{x | 1 < x \leq 7\}$

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18、记为 $[m]$ 为不超过m的最大整数，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{1 + a^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求 $y = [f (x) - \frac{1}{2}] + [f (- x) - \frac{1}{2}]$ 的值域.

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19、定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (y) - f (x) = f (\frac{y - x}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、判断 $f (\frac{1}{2}) + f (- \frac{1}{3})$ 的正负，并说明理由.

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20、 $10^{1 - lg 2} + ln \frac{1}{\sqrt{e}} + {log}_{4} 7 \cdot {log}_{7} 8 =$ .

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