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相关试卷

1、如图，已知在四棱柱 $A B C D - E F G H$ 中， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $N$ 、 $M$ 分别是 $E F$ 、 $H D$ 的中点．

(1)、求证： $H N //$ 平面 $A F M$ ；

(2)、若底面 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D, A B = E A = 2, A D = D C = 1$ ，异面直线 $A B$ 与 $E H$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ ．求直线 $A N$ 与平面 $A F M$ 所成角的正弦值．

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2、设 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ．

(1)、当函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ 时，求 $y = f (x) + cos x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值；

(2)、若 $ω = 2$ ，且在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，锐角 $A$ 满足 $f (A + \frac{π}{6}) = 0$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ，求 $a$ 的最小值．

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3、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项分别为 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ ，对于以下两个命题，说法正确的是（）．
①存在等比数列 $\{a_{n}\}$ 以及锐角α，使 $\{sin α, cos α, tan α\} = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 成立．
②对任意等差数列 $\{a_{n}\}$ 以及锐角α，均不能使 $\{sin α, cos α, tan α, cot α\} = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 成立．

A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题

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4、已知边长为2的正四面体 $A - B C D$ 的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O B} + z \vec{O D}, x 、 y 、 z \in [0, 1]$ ，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、． $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、已知事件 $A$ 和事件 $B$ 满足 $A \cap B = \emptyset$ ，则下列说法正确的是（）．

A、事件 $A$ 和事件 $B$ 独立 B、事件 $A$ 和事件 $B$ 互斥 C、事件 $A$ 和事件 $B$ 对立 D、事件 $\bar{A}$ 和事件 $\bar{B}$ 互斥

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6、已知 $α \in (0,π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）条件．

A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分又非必要

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7、已知项数为10的数列 $\{a_{n}\}$ 中任一项均为集合 ${x | 1 \leq x \leq 10, x \in N}$ 中的元素，且相邻两项满足 $a_{n} < a_{n + 1} + 3, n = 1, 2, \dots, 9$ ．若 $\{a_{n}\}$ 中任意两项都不相等，则满足条件的数列 $\{a_{n}\}$ 有个．

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8、2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为．（用含有H、h、m、t的式子表示）

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9、双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，若以点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与 $C_{1}$ 在第一象限交于点P，且 $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则 $C_{1}$ 的离心率为．

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10、如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ ．

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11、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - x, x \geq 0 \\ f (- x), x < 0 \end{array}$ ，则 $f (x) \leq 6$ 的解集是．

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12、已知非零复数 $z$ 满足 $|z - 1| = 1, |\bar{z} - i| = 1$ ，则 $z$ 的虚部为．

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13、若某圆锥的底面半径为 $1$ ，高为 $1$ ，则该圆锥的侧面积为．（结果保留 $π$ ）

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14、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $y = 2 + {log}_{a} x$ 的图像恒过的定点坐标为．

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15、在 ${(x - 2)}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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16、若 $tanα = 5$ ，则 $tan 2 α =$ ．

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17、函数 $y = ln \frac{x}{x - 1}$ 的定义域是．

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18、已知集合 $A = \{x| |x| < 2\}, B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长为4.

(1)、求椭圆的标准方程 $C$ ；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与轨迹 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M ， O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{4}$ ，试探究 $△ O M N$ 的面积是否为定值，并说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 \ln x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 - \frac{1}{a}$ ．

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