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相关试卷

1、已知点P是 $△ A B C$ 的中线BD上一点（不包含端点），且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{9}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是9

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2、一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件 $A = {2, 4, 6, 8}$ ，事件 $B = {5, 6, 7, 8}$ ，若事件 $C$ 满足 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ， $P (B C) \neq P (B) P (C)$ ，则满足条件的事件 $C$ 的个数为（）

A、4 B、8 C、16 D、24

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3、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其图象关于点 $(2, 2)$ 成中心对称，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，则 $f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2023) =$ （）

A、2023 B、 $- 2023$ C、4048 D、 $- 4048$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2}$ ，（ $n \geq 3$ ），则 $S_{9} =$ （）

A、 $341$ B、 $340$ C、 $61$ D、 $60$

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5、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ， $g (x) = 2^{x} + a$ ，若 $\exists x_{1} \in [2, 3]$ ， $\forall x_{2} \in [2, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是( ).

A、 $(- \infty, - \frac{11}{3}]$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$ D、 $(- \infty, - 4]$

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6、“ $x > 2$ ”是“ $2^{x} - \frac{4}{2^{x}} > 3$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知 $\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (θ - \frac{π}{2}) \tan 2 θ =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{15}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{15}$ C、 $\frac{14 \sqrt{2}}{15}$ D、 $- \frac{14 \sqrt{2}}{15}$

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8、下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、设集合 $M = \{x | x^{2} - 2 x < 0\}, N = \{x | x \leq 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2)$

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10、已知 $a = \log_{5} 0.6$ ， $b = 3^{1.4}$ ， $c = {0.9}^{2.2}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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11、已知 $a, b \in R$ ，那么 $\log_{2} a > \log_{2} b$ 是 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (λ, μ, ω)$ 的平面的方程为 $λ (x - x_{0}) + μ (y - y_{0}) + ω (z - z_{0}) = 0$ .已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点 $P (2, 2, 0)$ 的直线l的方程为 $2 - x = \frac{y}{2} - 1 = \frac{z}{3}$ ，经过点P的平面 $α$ 的方程为 $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ ，则直线l与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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13、每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示”为（ $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ ），这些 $a_{i}$ 满足 $k = 1! \cdot a_{1} + 2! \cdot a_{2} + \cdot \cdot \cdot + m! \cdot a_{m}$ ，其中每个 $a_{i} (i = 1, 2, 3 \cdot \cdot \cdot, m, m \in N^{*})$ 都是整数，且 $0 \leq a_{i} \leq i$ ， $a_{m} > 0$ .

(1)、求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；

(2)、若正整数 $k$ 对应的“阶乘表示”为（ $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ ），正整数 $k^{'}$ 对应的“阶乘表示”（ ${a^{'}}_{1}$ ， ${a^{'}}_{2}$ ， …， ${a^{'}}_{s}$ ） $(a_{1}^{'}, a_{2}^{'}, \dots, a_{s}^{'})$ ，其中 $m > s$ ，求证： $k > k^{'}$ ；

(3)、对正整数 $k$ ，记 $b_{n} = [\frac{k}{n!}] (n \leq m, n \in N^{*})$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，数列 $\{(n - 1) b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $k - S_{m} = 2024$ ，当 $k$ 最小时，求 $a_{m}$ 的值.

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14、下列命题中，是命题 $p : x \in \{a ||a^{2} - 2 a| < 1\}$ 的充分条件的有（）

A、 $x \in (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ B、 $x \in [2, 1 + \sqrt{2})$ C、 $x \in (1 - \sqrt{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $x \in [- 1, 0]$

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15、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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16、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是4，直线 $l$ 过它的焦点 $F$ 且与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的焦点坐标是 $(2, 0)$ B、 $x_{1} x_{2} = 4$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 5$ ，则 $|A B| = 7$ D、若以 $M$ 为圆心的圆与 $C$ 的准线相切，则 $A B$ 是该圆的一条直径

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则椭圆 $C$ 上的点到直线 $l : x + 2 y - 25 = 0$ 的距离的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、 $6 \sqrt{5}$

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18、设 $a \in R, F_{a} (x) = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}, x \in (a - 1, a) \cup (a, a + 1)$ ．若函数 $y = f (x)$ 满足 $F_{a} (x) > 0$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (a)$ ．

(1)、判断 $y = sin x$ 是否具有性质 $P (0)$ ，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = e^{x} - x$ ，若函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (a)$ ，求实数a的取值范围；

(3)、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为R ，且对任意 $a \in R$ 以及 $t \in (0, 1)$ ，都有 $F_{a} (a - 1) < F_{a} (a + 1)$ ．若当 $x < 0$ 时，恒有 $f (x) < 0$ ．求证：函数 $y = f (x)$ 对任意实数a均具有性质 $P (a)$ ．

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19、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，设 $P$ 为 $Γ$ 上的一点．

(1)、当 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ 时，求 $|P F_{2}|$ 的值；

(2)、若 $P$ 点坐标为 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则在 $Γ$ 上是否存在点 $Q$ 使 $△ A P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，若存在，请求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、已知 $D$ 点坐标为 $(0, m)$ ，过点 $P$ 和点 $D$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于另一点 $T$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴均不平行时，有 $\vec{P T} \cdot (\vec{B P} + \vec{B T}) = 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为 $[50, 60) 、 [60, 70) 、 [70, 80) 、 [80, 90) 、 [90, 100]$ 共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．

(1)、求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；

(2)、若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；

(3)、已知这1000名观众的评分位于 $[50, 80)$ 上的均值为67，方差为64.7，位于 $[50, 100]$ 上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于 $[80, 100]$ 上的均值与方差．

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