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相关试卷

1、设 $\vec{e_{1}} 、 \vec{e_{2}}$ 是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 和 $4 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + \vec{e_{1}}$

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2、已知抛物线W： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ 与W相切．

(1)、求W的方程．

(2)、过点F且与 $l_{1}$ 平行的直线 $l_{2}$ 与W相交于M，N两点，求 $|M N|$ ．

(3)、已知点 $P (4, 4)$ ，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = a (2 x - \ln x), g (x) = b x - x^{2}$ ，且曲线 $y = g (x)$ 在点 $(1, g (1))$ 处的切线与直线 $y = x + 1$ 垂直．

(1)、求b；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $m (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[1, 4]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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4、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{8}$ 成等比数列.数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $3 b_{n} - 2 S_{n} - 2 n + 2 = 0$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数, \\ b_{n}, n 为偶数, \end{array}$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a \sin B = b \sin 2 A$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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6、定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为1， $a_{1} = 2$ ，则数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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7、曲线 $y = 2 x - \ln x$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线方程为.

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8、已知函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，则下列关于函数 $g (x)$ 的结论不正确的是（）

A、在区间 $(3, 6)$ 上单调递减 B、在区间 $(- 3, 1)$ 上单调递增 C、当 $x = 1$ 时，函数 $g (x)$ 有极小值 D、当 $x = - 3$ 时，函数 $g (x)$ 有极小值

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9、已知动点M与两个定点 $O (0, 0), A (3, 0)$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有（）

A、曲线C的方程为 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ B、若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、曲线C与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的公共弦长为 $\sqrt{15}$ D、若 $B (1, 1)$ ，则 $\frac{1}{2} | M A | + | M B |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 24$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 12$ B、数列 $\{S_{n} + 2\}$ 为等比数列 C、 $S_{n} = 2 a_{n} - 3$ D、 $\frac{S_{2 n} - S_{n}}{S_{n}} = 2^{n}$

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11、已知 $x ， y$ 均为正实数，且 $(x + 2) (y + 3) = 16$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、设曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ， $C_{2} : x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，若 $e_{2} = \sqrt{6} e_{1}$ ，则a＝（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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13、在公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{9} = 3 (a_{2} + a_{6} + a_{k})$ ，则k的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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14、复数z满足 $z (1 + i) = 7 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、5 B、 $4 \sqrt{2}$ C、25 D、32

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15、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = \{x |\frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > 1\}$ D、 $\{x ∣ x > 0\}$

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的项数为 $n (n \geq 6)$ ，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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17、对于无穷数列 $\{x_{n}\}$ 和函数 $f (x)$ ，若 $x_{n + 1} = f (x_{n}) (n \in N^{*})$ ，则称 $f (x)$ 是数列 $\{x_{n}\}$ 的生成函数.

(1)、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $g (2^{n + 1}) = 2 g (2^{n}) + 2^{n}$ ，且 $g (2) = 1$ ；又数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = g (2^{n})$ .
（Ⅰ）求证： $f (x) = x + \frac{1}{2}$ 是数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的生成函数；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

(2)、已知 $f (x) = \frac{2025 x + 2}{x + 2026}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的生成函数，且 $b_{}_{1} = 2$ .若数列 $\{\frac{b_{n} - 1}{b_{n} + 2}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $25 (1 - {0.99}^{n}) < T_{n} < 250 (1 - {0.999}^{n})$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）.

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18、设函数 $f (x) = a x - \ln x + 1, a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在实数a，当 $x \in (0, e]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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19、若函数 $f (x) = e^{x} + (a + 1) x + b$ （其中 $a > 0$ ），方程 $f (f (x)) = x$ 在 $[- 1, 2]$ 上有解，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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20、在 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在边 $B C, A C$ 上， $D C = D B, B E ⊥ A C$ ，且 $A D = B E = 2, ∠ C D A = \frac{π}{3}$ ，则 $B C =$ .

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