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相关试卷

1、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 折起，使得点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，如图2，且二面角 $P - D E - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $P D C$ 的距离；

(3)、在棱 $P E$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $B G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求 $P G$ 的长；若不存在，请说明理由．

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知 $(2 a \cos C + 2 c \cos A) \cos A = b$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = 2$ ，求 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 图象，若不等式 $g (x) - m \leq 4$ 对任意 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 成立，求m的取值范围.

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4、已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 3, y)$ ，且 $\tan α = - \frac{4}{3}$ .

(1)、求 $\sin (π - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)$ 的值；

(2)、将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ ，此时终边所对应的角为 $β$ ，求 $\sin (α + β)$ 的值.

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为45°，且满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影长度；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求 $k$ 的值.

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6、解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为 $30^{\circ} ， 45^{\circ} ， 60^{\circ}$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则解放碑的高AB为.

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7、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\cos (α - β) = \frac{1}{6}$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α \tan β =$ .

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8、已知圆锥的底面半径 $r = 2$ ，高为 $h = 4 \sqrt{2}$ ，则这个圆锥的表面积是.

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9、如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（）

A、 $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - 1$

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10、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $b = 7$ ，如果 $△ A B C$ 有两解，则 $a$ 的值可能为（）

A、9 B、 $7 \sqrt{2}$ C、11 D、12

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11、一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、12 B、16 C、 $16 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{3}$

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12、用斜二测法画水平放置的边长为 $2$ 的正三角形，所得直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{A B} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 4 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 5 \vec{a} + 7 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A，B，D B、A，B，C C、A，C，D D、B，C，D

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14、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且是奇函数的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos x$

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15、已知扇形的弧长为 $\frac{4 π}{3}$ ，圆心角为40°，则该扇形的半径为（）

A、2 B、3 C、6 D、8

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16、若复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、若数列 ${a_{n}}$ （ $1 \leq n \leq k$ ， $n \in N$ ， $k \in N$ ）满足 $a_{n} \in {0, 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为k项 $0 - 1$ 数列，集合 $M_{k}$ 是由所有k项 $0 - 1$ 数列组成的集合，从集合 $M_{k}$ 中任意取出两个不同数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 记变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$

(1)、当 $k = 2$ 时，求集合 $M_{2}$ ；

(2)、若 $k = 3$ ，求随机变量X的分布列与数学期望；

(3)、求 $P (X = m)$ ，其中 $m = 1, 2, \dots, k$ 且 $m \in N$ ．

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点为A，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为 $△ A M N$ 的外心．
①若 $△ A M N$ 为等边三角形，求PA的长；
②若点P在直线 $x = - \frac{1}{3}$ 上，求点A到直线l距离的最大值．

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19、已知函数 $f (x) = e^{a x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ ，求a的值；

(2)、若 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，试比较 $f (x_{0})$ 与 $- e$ 的大小．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 1$ ，且 $b \cos A - \cos B = 1$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{4}$ ，求A；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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