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相关试卷

1、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，点M在C上，则 $|M F_{1}| \cdot |M F_{2}|$ 的最大值为．

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2、设函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) - \sqrt{3} \sin (3 x + φ)$ ， $x \in R$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $\tan φ =$ ．

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3、已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $O$ 为四面体 $A B C D$ 外接球的球心，则下列说法中正确的是（）

A、若 $A B ⊥ C D$ ，则 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ B、若 $A B = C D = 1$ ，则 $A D$ 的取值范围是 $(2, 2 \sqrt{2})$ C、若 $A B + C D = 2$ ，则 $\vec{C O} \cdot (\vec{C D} - \vec{B A})$ 的取值范围是 $(- 2, 2)$ D、若 $A B = C D = 2$ ，直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $\frac{28}{3} π$

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4、随机事件A、B满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{A} | B) = \frac{1}{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、事件 $\bar{A}$ 与事件B相互独立 B、 $P (\bar{A} \cup B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ D、 $P (\bar{B}) = P (\bar{A} B)$

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5、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (0) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足： $f (x + 1) - f (x) \leq 2^{x}$ ， $f (x + 2) - f (x) \geq 3 \times 2^{x}$ ，则 $f (2025)$ 的值为（）

A、 $2^{2025} + 2$ B、 $2^{2025} + 1$ C、 $2^{2025}$ D、 $2^{2025} + 3$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n {(\frac{9}{10})}^{n}, \{a_{n}\}$ 的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（）

A、 $a_{8}$ B、 $a_{9}$ C、 $a_{11}$ D、 $a_{12}$

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7、设F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点， $α$ ， $β$ 分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足 $β = 5 α$ ，已知点F到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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8、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、 $- \frac{3}{2}$

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9、已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{4} x^{3}, x \leq 2 \\ \log_{a} x, x > 2 \end{cases}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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10、已知集合 $A = {y | y = \sin x + \cos x}, B = {x | y = \sqrt{a - x^{2}}}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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11、实数a，b满足 $(a + b i) (2 - i) = 5$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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12、已知点 $P (4, 4)$ 及圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，点 $Q$ 是圆 $C$ 上的动点，则（）

A、过原点 $O$ 与点 $P$ 的直线被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ B、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，则切线方程为 $3 x - 4 y + 4 = 0$ C、当点 $Q$ 到直线 $P C$ 的距离最大时，过点 $Q$ 与 $P C$ 平行的一条直线的方程为 $2 x - y - 4 - 2 \sqrt{5} = 0$ D、过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则直线 $A B$ 的方程为 $x + 2 y - 4 = 0$

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $4 T_{n} < a^{2} - a$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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14、在① $S_{3} = 9, S_{5} = 20$ ；②公差为 $2$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列；③ $S_{n} = 3 n^{2} + 8 n$ ；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，其前项和为 $S_{n}$ ， ______.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = [\log_{2} a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{20}$ 的值.

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前项n和为 $S_{n}$ ，若对于任意的正整数n都有 $S_{n} = 2 a_{n} - 3 n$ .
（1）设 $b_{n} = a_{n} + 3$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．
（2）求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n} + \frac{1}{a_{n + 1}} = 2$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{1 - a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{1} = 1$ 且 $a_{n} b_{n} = n - 1$ ，求数列 $\{b_{n} \cdot 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足： $a_{1}^{2} + a_{5}^{2} = 8$ ， $a_{1} + a_{2} = 5$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 取得最大值时 $n$ 的值.

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18、已知数列{a_n}中，a_n₊₂ $= \{\begin{matrix} m a_{n} ， n 为偶数 \\ a_{n} + 2 ， n 为奇数 \end{matrix}$ ，且m∈R ， a₁＝1，a₂＝2，a₈＝16，则{a_n}的前2n项和S₂_n＝.

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19、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{10}^{2} =$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = n^{2} + n$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ ，则 $S_{1} \cdot S_{3} > S_{2}^{2}$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $S_{11} = 11 a_{6}$ D、若 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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