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相关试卷

1、设 $a = 3^{0.1}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.5}$ ， $c = {log}_{3} 0.5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）.

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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2、如图，在空间几何体 $A B C D E$ 中，已知 $△ A B C, △ A C D, △ B C E$ 均为边长为2的等边三角形，平面 $A C D$ 和平面 $B C E$ 都与平面 $A B C$ 垂直， $H$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $E D ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $D H$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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3、佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．

(1)、求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；

(2)、已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．

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4、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + \sqrt{3} b sin C = a + c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 1) - x$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，若 $a_{1} f (a_{1}) + a_{2} f (a_{2}) + a_{3} f (a_{3}) + a_{4} f (a_{4}) = 0$ ，则 $a_{n} =$ .

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6、设函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[α, α + \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[M, N]$ ，则 $N - M$ 的取值范围是.

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7、如图，在平面直角坐标系中，以 $O A$ 为始边，角 $α$ 与 $β$ 的终边分别与单位圆相交于 $E$ ， $F$ 两点，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，若直线 $E F$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{15}{17}$ B、 $- \frac{8}{17}$ C、 $\frac{8}{17}$ D、 $\frac{15}{17}$

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8、一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）

A、6种 B、8种 C、12种 D、48种

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9、设复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = |1 + 2 \sqrt{6} i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 9}$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的奇函数，满足 $f (1) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明.

(3)、若 $f (t^{2} - 1) + f (1 - 4 t) < 0,$ 求实数 $t$ 的取值范围.

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11、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{C D} = (2, 1, 2)$ ，则 $cos ⟨\vec{A B}, \vec{C D}⟩ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知互不相等的数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, t$ 的平均数为 $t$ ，方差为 $s_{1}^{2}$ ，数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小关系为（）

A、 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ C、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、无法判断

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13、已知定点 $A (1, - 3)$ ，点 $B$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 上的动点， $C$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若过定点 $P (\frac{1}{2}, - 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的轨迹交于 $M, N$ 两点，且 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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14、下列说法正确的有（）

A、若角 $α$ 的终边过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则角 $α$ 的集合是 $\{α |α = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z\}$ B、若 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (α + \frac{2 π}{3}) = \frac{3}{5}$ C、若 $tan α = 2$ ，则 ${sin}^{2} α + sin α cos α = \frac{6}{5}$ D、若扇形的周长为 $8 cm$ ，圆心角为 $2 rad$ ，则此扇形的半径是 $4 cm$

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15、如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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16、平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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17、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A在T上，点 $P (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ .

(1)、若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明： $A C ⊥ P Q$ .

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18、已知点 $P (\sqrt{3} + 2, 3 - \sqrt{3})$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 7 = 0$ .

(1)、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线l，求直线l的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上至少存在三个点到直线 $a x - y + 2 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2， $E, F, G, H$ 分别是棱 $A B, A D, D C, B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{G F} \cdot \vec{A C}$ 与 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ ；

(2)、求 $|H F|$ 的长.

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20、已知O为坐标原点，双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若 $|P A| = \sqrt{3} |P O|$ ，则C的渐近线方程为.

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日销售量/件	0	1	2	3
天数	5	10	25	10