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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + a$ ， $f (- \frac{π}{12}) = 1$ ，

(1)、求 $a$ 的值以及 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、已知 $g (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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2、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 3 x - 1 > 0$ 的解集是 $A = \{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设集合 $B = \{x |2 m < x < 2 - m\}$ ，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知 $\sin (x + y) = x + \frac{1}{x} - 1$ ，则 $|x y|$ 的最小值为.

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4、已知 $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ ，则 $x =$ .

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5、设 $s, t > 0$ ，若满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x - t|} + \sqrt{|x + t|} = 2 s$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = s$ ，则下列选项中，一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 0$ B、 $s - t = \frac{24}{25}$ C、 $\frac{t}{s} = \frac{4}{5}$ D、 $s \cdot t = \frac{64}{125}$

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6、已知定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足：对于每一个实数 $x$ ，都有 $f (x + \frac{π}{4}) = 1 + \sqrt{2 f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为( )

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ $(ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值为 $\frac{ω}{4}$ ，则实数 $ω$ 的取值个数最多为（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{16 a + 9 b}{a b}$ 的最小值是（）

A、49 B、50 C、51 D、52

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots$ $+ f (2024)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、0 C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ ，且对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- 3, - 2]$ D、 $[- 3, - 2]$

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11、我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足关系 $A + C = 2 B$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、若 $∠ B$ 的角平分线与 $A C$ 交于D，则 $B D$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ D、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C}) = 26$

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12、命题“ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是．

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13、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = S_{10}$ ， $a_{5} = 1$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\frac{7}{3}$ C、1 D、2

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14、设点 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 3, - 2)$ ，若直线l过点 $P (1, 1)$ 且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - 4$ B、 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - \frac{1}{4}$ C、 $- 4 \leq k \leq \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4} \leq k \leq 4$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 2, x \leq 0 \\ - x + 2, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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16、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 $F$ 在半圆 $O$ 上，点 $C$ 在直径 $A B$ 上，且 $O F ⊥ A B$ ，设 $A C = a$ ， $B C = b$ ，则该图形可以完成的无字证明为（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$ D、 $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > 0, b > 0)$

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17、函数 $f (x)$ 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）
$x$
-2
-1
0
1
2
3
5
$f (x)$
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1

A、 $f (x) = k a^{|x|} + b$ B、 $f (x) = k x e^{x} + b$ C、 $f (x) = k |x| + b$ D、 $f (x) = k {(x - 1)}^{2} + b$

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18、已知直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : x + 2 y - 5 = 0$ ，点M，N分别是直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上的点，点 $A (4, 3)$ ，则 $△ A M N$ 周长的最小值是（）

A、4 B、6 C、9 D、12

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19、已知函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x - 2}{x - 1}$ ， a为常数.

(1)、若 $a = 2$ ，解关于x的不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < x - a$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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20、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、若椭圆 $E$ 过点 $(2, \sqrt{2})$ ，求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2)、若直线 $l_{1}, l_{2}$ 均过点 $P (p_{n}, 0) (0 < p_{n} < a, n \in N^{*})$ 且互相垂直，直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点， $M, N$ 分别为弦 $A B$ 和 $C D$ 的中点，直线 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $Q (t_{n}, 0)$ ，设 $p_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ .
①求 $t_{n}$ ；
②记 $a_{n} = |P Q|$ ，求数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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$x$	-2	-1	0	1	2	3	5
$f (x)$	2.3	1.1	0.7	1.1	2.3	5.9	49.1