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相关试卷

1、在空间四点O，A，B，C中，若 $\{\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}\}$ 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）

A、O，A，B，C四点不共线 B、O，A，B，C四点共面，但不共线 C、O，A，B，C四点不共面 D、O，A，B，C四点中任意三点不共线

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 2} + a_{n}}{2} \geq a_{n + 1}$ 对任意的正整数 $n$ 都成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $V$ 数列.

(1)、设 $\{x_{n}\}$ 是等差数列， $\{y_{n}\}$ 是正项等比数列，记 $c_{n} = x_{n} + y_{n}$ ，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 是 $V$ 数列；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $V$ 数列，且 $a_{1} = 1, a_{507} = 2025$ ，求证： $a_{6} \leq 21$ ；

(3)、若正项 $V$ 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $a_{n} - a_{n + 1} < \frac{2 S_{n}}{n (n + 1)}$ .

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3、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 有相同的渐近线，且过点 $M (2, - \sqrt{2})$ .

(1)、求E的方程；

(2)、已知O为坐标原点，直线 $x - y + m = 0$ 与E交于P，Q两点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 4$ ，求m的值.

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4、某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为 $\frac{1}{3}$ ．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．

(1)、求甲没有获得“智慧星”称号的概率；

(2)、求乙获得“智慧星”称号的概率．

(3)、记事件 $M =$ “乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件 $M$ 发生的概率．

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5、已知函数 $f (x) = sin ω x + k$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线为 $y = 2 x + 1$ .

(1)、求 $ω, k$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = x - f (x) (x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}])$ 的单调区间与最大值.

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6、已知圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 与x轴和直线 $y = k x (k > 0)$ 都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为 $(3, 1)$ ，且两圆半径的乘积为5，则k的值为.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n - 1}} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ），则 $a_{2025} =$ ．

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8、 $(1 - 3 x) {(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（用数字作答）

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9、曲线C是平面内与三个定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ 和 $F_{3} (0, 1)$ 的距离的和等于 $2 \sqrt{2}$ 的点的轨迹，P为C上一点，则（）

A、曲线C关于x轴对称 B、存在点P，使得 $|P F_{3}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值是1 D、存在点P，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为钝角

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10、设公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ 前n项的积为 $T_{n}$ ，则（）

A、若 $T_{8} = 81$ ，则 $a_{3} \cdot a_{6} = 3$ B、若 $T_{9} > 0$ ，则必有 $a_{1} > 0$ C、若 $a_{1} > 1$ ， $0 < q < 1$ ，则 $T_{n}$ 有最大值 D、若 $a_{n} > 0$ ，则数列 $\{\lg T_{n}\}$ 一定是等差数列

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11、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{7}{6} \sqrt{2}, A B = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ，则（）

A、正四棱台的高为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $A A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ C、平面 $A B C D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的正切值为 $\sqrt{2}$ D、正四棱台外接球的表面积为 $10 π$

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12、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 12 y$ 的焦点为F，点P是C上的一点，点 $M (1, 2)$ ，则 $△ P M F$ 周长的最小值是（）

A、 $4 + \sqrt{2}$ B、 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、 $5 + \sqrt{2}$ D、 $5 + 2 \sqrt{2}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - a x + 1, x \geq 1 \\ \log_{a} x + a^{x} - 1, 0 < x < 1 \end{array} (a > 0, a \neq 1)$ 是 $(0, + \infty)$ 上的单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, + \infty)$

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14、某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊 $5$ 名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步 $4$ 个项目，每名同学只能报 $1$ 个项目，每个项目至少有 $1$ 名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（）

A、 $60$ 种 B、 $120$ 种 C、 $180$ 种 D、 $240$ 种

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, x)$ ， $\vec{b} = (- x, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同，则 $x =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 6, 2)$ ， $\vec{b} = (m, m + 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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17、设集合 $A = {x \in N ∣ 3 \leq x < 6}, B = \{2, 3, 4, 8\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{2, 8\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 5, 8\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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18、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”.

(1)、试判断 $g (x) = |x|$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 1$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + x + 1 ， x \leq 1 \\ x - 1 ， x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ 的“3重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ . $h (x) = a x - [a x]$ ， $x \in [0, 2)$ ，若 $h (x)$ 为 $f (x) = \frac{{(\cos x + \sin x + 1)}^{2}}{8 + 8 \sin x}$ (其中 $\sin x \neq - 1$ )的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

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19、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对 $\forall x \in D$ ，都有 $f (2 m - x) + f (x) = 2 n$ ，则称函数 $f (x)$ 为中心对称函数，其中 $(m, n)$ 为函数 $f (x)$ 的对称中心.比如，函数 $y = \frac{1}{x} + 1$ 就是中心对称函数，其对称中心为 $(0, 1)$ .

(1)、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 中心对称，且当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，求 $f (0), f (1)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3}$ 为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；

(3)、已知函数 $f (x) = \frac{c}{2^{x + 1} + 1}$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a, b$ 满足 $\frac{a + b}{2} \geq f (- 2024) + f (- 2023) + f (- 2022) + \dots + f (2020) + f (2021) + f (2022)$ ，且不等式 $t (a + 4047 c) b \leq a^{2} + 4047 a c + 2 b^{2}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围

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20、某企业原有 200 名科技人员，年人均工资 $a$ 万元（ $a > 0$ ），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名 $(x \in N$ 且 $50 \leq x \leq 80 ）$ ，调整后研发人员的年人均工资增加 $(2 x) %$ ，技术人员的年人均工资调整为 $a (m - \frac{x}{10})$ 万元.

(1)、若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?

(2)、为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 $m$ ，满足以上两个条件，若存在，求出 $m$ 的范围；若不存在，说明理由.

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