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相关试卷

1、已知直线 $l_{1} : m x - y - 3 = 0$ ，直线 $l_{2} : 4 x - m y + 6 = 0$ ，则下列命题正确的有（）

A、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(0, - 3)$ B、直线 $l_{2}$ 的斜率一定存在 C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m = 2$ 或 $m = - 2$ D、存在实数 $m$ 使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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2、已知 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{c} = (2 ， 1 ， - 3)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = - 6$ C、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} / / (2 \vec{c} - \vec{b})$

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3、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，则点 $Q$ 与原点 $O$ 之间的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、4

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4、已知曲线 $E : x |x| - y |y| = 1$ ，则下列结论中错误的是（）

A、曲线 $E$ 关于直线 $y = - x$ 对称 B、曲线 $E$ 与直线 $y = x$ 无公共点 C、曲线 $E$ 上的点到直线 $y = x$ 的最大距离是 $\sqrt{2}$ D、曲线 $E$ 与圆 ${(x + \sqrt{2})}^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 9$ 有三个公共点

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5、我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 10} + \sqrt{x^{2} - 10 x + 29}$ 取得最小值时，实数 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{13}{5}$ B、3 C、 $\frac{17}{5}$ D、4

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6、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，点P在 $A_{1} C$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = 3 \vec{P C}$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{4} \vec{c}$

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7、古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中， $A B$ 为底面圆的直径， $M$ 为 $P B$ 中点，某同学用平行于母线 $P A$ 且过点 $M$ 的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高 $|P O| = 2$ ，底面半径 $|O A| = 2$ ，则该抛物线焦点到准线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $2 \sqrt{17}$

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9、直线 $\sqrt{3} x - y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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10、定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记 $|M N|$ 的最大值为m， $|M N|$ 的最小值为n，若 $m = 2 n$ ，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“ $E - F$ ”的“钻石点”.已知圆A： ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{3}$ ， P为圆A的“黄金点”

(1)、求点P所在曲线的方程.

(2)、已知圆B： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ， P，Q均为圆“ $A - B$ ”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线 $P Q$ 的方程.
（ⅱ）若圆H是以线段 $P Q$ 为直径的圆，直线l： $y = k x + \frac{1}{3}$ 与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分 $∠ I W J$ ？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.

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11、已知圆C与 $y$ 轴相切，其圆心在 $x$ 轴的正半轴上，且圆 $C$ 被直线 $y = x$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (0, 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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12、若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为．

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13、对于四个正数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，若 $a d < b c$ ，那么称 $(a, b)$ 是 $(c, d)$ 的“不足序列”.

(1)、对于3，4，5，7，试求 $(3, 5)$ 的“不足序列”；

(2)、对于四个正数 $P$ ， $Q$ ， $R$ ， $T$ ，若 $(P, Q)$ 是 $(R, T)$ 的“不足序列”，试判断： $\frac{R}{T}$ ， $\frac{P}{Q}$ ， $\frac{P + R}{Q + T}$ 之间的大小关系，并说明理由；

(3)、设正整数满足条件：对集合 $\{m| 0 < m < 2024\}$ 内的每个 $m \in N$ ，总存在正整数 $k$ ，使得 $(m, 2024)$ 是 $(k, n)$ 的“不足序列”，且 $(k, n)$ 是 $(m + 1, 2025)$ 的“不足序列”，求：正整数 $n$ 的最小值.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x} + a}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、解不等式 $f (x) > 2$ ；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{3} \frac{x}{3} \cdot \log_{3} \frac{x}{9} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [3, 27]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $\forall a$ ， $b \in [- 1, 1]$ ， $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并证明你的结论；

(2)、若 $m^{2} - 5 m t - 6 \leq f (x)$ 对 $\forall x \in [- 1, 1]$ ， $\forall m \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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16、已知集合 $A = \{x| m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ，函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 的定义域为 $B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、计算求值：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + {(3 - 2 \sqrt{2})}^{0} - {(\frac{81}{16})}^{\frac{1}{4}} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - π)}^{4}}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ ，求 $\frac{x + x^{- 1}}{x^{2} + x^{- 2} - 2}$ 值.

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18、已知 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 2, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - a f (x) - 1$ 有5个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} + \lg (x - 2)$ 定义域为．

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20、指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知 $U$ 为全集且元素个数有限，对于 $U$ 的任意一个子集 $S$ ，定义集合 $S$ 的指示函数 $1_{S} (x)$ ， $1_{S} (x) = \{\begin{cases} 1, x \in S \\ 0, x \in ∁_{U} S \end{cases}$ ，若 $A$ ， $B \subseteq U$ ，则（）
注： $\sum_{x \in M} f (x)$ 表示 $M$ 中所有元素 $x$ 所对应的函数值 $f (x)$ 之和（其中 $M$ 是 $f (x)$ 定义域的子集）.

A、 $1_{A \cap B} (x) \leq 1_{A} (x) \leq 1_{A \cup B} (x)$ B、 $\sum_{x \in A} 1_{A} (x) < \sum_{x \in U} 1_{A} (x)$ C、 $\sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x) = \sum_{x \in U} (1_{A} (x) + 1_{B} (x) - 1_{A} (x) 1_{B} (x))$ D、 $\sum_{x \in U} (1 - 1_{A} (x)) (1 - 1_{B} (x)) = \sum_{x \in U} 1_{U} (x) - \sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x)$

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