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1、已知向量 $\vec{a} = (4, 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{3}, x, y)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $B A ⊥ B C$ ， $P A = P B = P C = 2$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点，点 $M$ 是棱 $B C$ 上一动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为 $\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1$ B、若 $M$ 为棱 $B C$ 的中点，则异面直线 $P M$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、若 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{2}$ ，则二面角 $M - P A - C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $P M + M A$ 的取值范围为 $[\sqrt{6 + 2 \sqrt{7}}, 4]$

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3、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角 C、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (2, 4, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1, - 2, 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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4、下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = k$ 不能表示过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 且斜率为 $k$ 的直线方程 B、在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 $a$ ， $b$ 的直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ C、直线 $y = k x + b$ 与 $y$ 轴的交点到原点的距离为 $|b|$ D、设 $A (- 2, 2)$ ， $B (1, 1)$ ，若直线 $l$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与线段 $A B$ 有交点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2)$

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5、柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为 $a$ 的柏拉图多面体 $E A B C D F$ ，点 $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D E$ ， $A B$ ， $A D$ ， $B F$ 的中点，则异面直线 $P Q$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6、已知平面 $α$ 和平面 $β$ 的夹角为 $60 °$ ， $α \cap β = l$ ，已知A，B两点在棱上，直线 $A C$ ， $B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 $A B$ ．已知 $A B = 4$ ， $A C = B D = 6$ ，则 $C D$ 的长度为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{31}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{13}$ 或 $2 \sqrt{31}$

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7、过点 $(1, 1)$ 可以作圆 $x^{2} + y^{2} + 2 a x - 2 y + 2 = 0$ 的两条切线，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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8、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 3 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $2 x + a y + a + 1 = 0$ ，则命题 $p$ ： $l_{1} / / l_{2}$ 是命题 $q$ ： $a = - 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = \frac{1}{2} M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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10、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数λ的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{14}{3}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、2

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11、经过两点 $A (2, m), B (- m, 4)$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $135^{\circ}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-2 B、1 C、3 D、4

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12、已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ， $f (1) = 1, f^{'} (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 2) = 4$ C、 $f^{'} (0) = - 1$ D、 $f^{'} (2) = 4$

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形， $A B = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ， $∠ B_{1} B A = ∠ B_{1} B C = 60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A - B C - B_{1}$ 的正弦值．

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14、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $B C = 2 A C$ .

(1)、求 $\tan ∠ B A C$ 的值；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、设 $D$ 为 $△ A B C$ 内一点， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B D C = 120 °$ ，求 $\tan ∠ A C D$ 的值.

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15、甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；

(2)、若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．

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16、关于椭圆有如下结论：“过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作该椭圆的切线，切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .”设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 的一个交点为 $M$ ，过 $M$ 作椭圆的切线 $l$ ，若切线 $l$ 的斜率 $k_{1}$ 与直线 $A M$ 的斜率 $k_{2}$ 满足 $k_{1} + 2 k_{2} = 0$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、已知曲线 $C : 2 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ ，则（）

A、 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上 B、 $C$ 的短半轴长为 $2$ C、 $C$ 的右焦点坐标为 $(\sqrt{2}, 0)$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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18、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为BD的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且 $V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

(1)、求三棱锥 $A - B C D$ 的高；

(2)、求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

(3)、在棱AD上是否存在点 $E$ ，使二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45 °$ ？若存在，并求出 $\frac{A E}{D E}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19、已知圆C过 $A (1, - \sqrt{7})$ ， $B (6, 2 \sqrt{3})$ ，且圆心C在x轴上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $D (2, 10)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 分别与直线 $x = 8$ 相交于P，Q，记 $△ O M N$ ， $△ O P Q$ 面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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20、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点，P为C上一点.

(1)、若 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，点P的坐标为 $(0, - 3)$ ，求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为4，求b的值.

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