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相关试卷

1、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知 $A (- 1, 0, 0), B (1, 2, - 2), C (0, 0, - 2), D (2, 2, - 4)$ ，则以下正确的是（）

A、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 6$ B、 $\vec{A C}, \vec{A B}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ C、A，B，C，D共面 D、点O到直线 $A B$ 的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$

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3、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是锐角 B、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{12} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面

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4、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (- 1, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, 1, \frac{1}{2})$ ，若 $l / / α$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、在棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ， $B D_{1} = \sqrt{3}$ ，则 $∠ B A D =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6、已知 $\vec{a} = (- 1, 2, 1), \vec{b} = (2, - 2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为（）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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7、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 4, - 4)$ ， $\overset{⃑}{c} = (7, 7, λ)$ ，若 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ 三个向量共面，则实数 $λ =$

A、3 B、5 C、7 D、9

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8、在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 1, 4)$ 关于x轴对称的点坐标是（）

A、 $(- 2, 1, - 4)$ B、 $(2, 1, 4)$ C、 $(- 2, - 1, - 4)$ D、 $(2, - 1, 4)$

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9、函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ .

(1)、 $a = 3$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 上两点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 、 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 连线斜率记为 $k$ ，求证： $k > \frac{2 - a}{a - 1}$ .

(3)、盒子中有编号为 $1 ~ 100$ 的 $100$ 个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取 $20$ 个小球，记抽取的 $20$ 个小球编号各不相同的概率为 $p$ ，求证： $p < \frac{1}{e^{2}}$ .

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左顶点到点 $P (2, 1)$ 的距离为 $\sqrt{17}$ ，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $O P$ 交于点 $Q$ ，且 $\vec{A B} = 2 \vec{Q B}$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当 $△ A P B$ 的面积取最大值时，求 $△ M O N$ 的面积.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，
（i）求二面角 $P - D M - B$ 的余弦值；
（ii）在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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12、已知函数 $f (x) = e^{m x} (x^{2} - m x - 1)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(k, f (k))$ （ $k = 1, 2, 3$ ）处的切线记为 $l_{k}$ ．
①求 $l_{1}$ 的方程；
②设 $l_{k}$ 的交点构成 $△ A B C$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明．

(2)、讨论 $f (x)$ 的极值．

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $c \sin B + \sqrt{3} b \cdot \cos C = \sqrt{3} a$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 2$ ，求边 $A C$ 上的角平分线 $B D$ 长；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求边 $A C$ 上的中线 $B E$ 的取值范围．

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14、已知点 $P (5, 4)$ ，点F为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为．

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ ，若对于任意的 $n \in N^{*}, k (a_{n} + 2) \geq 3 n - 5$ 恒成立，则实数k的最小值为.

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16、随机变量X服从正态分布 $X ~ N (8, σ^{2})$ ， $P (x > 10) = m$ ， $P (6 \leq x \leq 8) = n$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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17、已知圆 $Q_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $Q_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 的交点为 $A, B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 的中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ D、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、如图，圆锥 $S O$ 的底面直径和母线长均为 $4 \sqrt{3}$ ，其轴截面为 $△ S A B$ ， $C$ 为底面半圆弧 $A B$ 上一点，且 $\overset{⌢}{A C} = 2 \overset{⌢}{C B}$ ， $\vec{S M} = λ \vec{S C}$ ， $\vec{S N} = μ \vec{S B} (0 < λ < 1, 0 < μ < 1)$ ，则（）

A、存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得 $B C ⊥ A M$ B、当 $μ = \frac{2}{3}$ 时，存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得 $A M //$ 平面 $O N C$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ ， $μ = \frac{2}{3}$ 时，四面体 $S A M N$ 的体积为 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、当 $A N ⊥ S C$ 时， $μ = \frac{5}{7}$

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19、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0 (m \in R)$ 的两根，则（）

A、 $z_{1} + z_{2} = 2$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $m > 1$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $m > 1$ ，则 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} < 2$

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20、在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线（ $D$ 在线段 $B C$ 上）， $C D = 1, A D = 2$ ，当 $A B + A C$ 取最小值时， $B D =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

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