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相关试卷

1、图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $N \cap ∁_{U} M$ B、 $M \cap ∁_{U} N$ C、 $[∁_{U} (M \cap N)] \cap N$ D、 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$

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2、已知首项为 $a_{1}$ ，公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} > 0, q > 1$ ”是“ $S_{n}$ 单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{7}{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 6$ ， $A = 30^{\circ}$ ， $B = 120^{°}$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $9$ B、 $18$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、 $18 \sqrt{3}$

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5、已知平面向量 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ 均为单位向量，若向量 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{2}$ ，则 $|3 \overset{⇀}{m} + 4 \overset{⇀}{n}| =$ （）

A、25 B、7 C、5 D、 $\sqrt{7}$

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6、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P为C上一点.

(1)、已知 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ，且点 $M (0, 1)$ 在C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求 $|P M|$ 的最大值.

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $|O P| = |O F_{2}|$ ，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于9，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围.

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7、某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙每门合格的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ，甲、乙面试合格的概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{8}{11}$ .

(1)、求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；

(2)、求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $A A_{1}$ 和 $B C$ 的中点.

(1)、证明：直线 $M N //$ 平面 $A_{1} C D$ .

(2)、求平面 $A M N$ 与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值.

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9、已知圆 $M$ 经过点 $A (1, 4)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (2, 5)$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l$ 经过点 $P (2, \frac{7}{2})$ ，且l与圆M相交于E，F两点，求 $|E F|$ .

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10、已知P是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为C的左、右焦点，且P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ .若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与x轴交于点 $Q (\frac{1}{2}, 0)$ ，则椭圆C的长轴长为.

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11、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，点E满足 $\vec{E D} = 2 \vec{P E}$ ，点F满足 $\vec{B F} = λ \vec{B E}$ ，若 $P, A, C, F$ 四点共面，则 $λ =$ .

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12、直线 $x + m y + 3 + m = 0$ 在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为.

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13、已知 $m > 0$ ， $n < 0$ ， $C (x, y)$ 是曲线 $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$ 上的任意一点，若 $|x - y + m| + |x - y + n|$ 的值与 $x, y$ 无关，则（）

A、m的取值范围为 $[2 \sqrt{2} - 2, + \infty)$ B、n的取值范围为 $(- \infty, - 2 \sqrt{2} - 2]$ C、 $|x - y + 3|$ 的最大值为7 D、 $|x - y + m| + |x - y + n|$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P (- 1, - 3, 3)$ ， $A (1, 0, 1)$ ， $B (0, 1, 1)$ ， $C (- 1, 3, 0)$ ， $D (0, 2, 0)$ ，则下列结论正确的有（）

A、四边形 $A B C D$ 为正方形 B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、 $\vec{P A}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ D、点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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15、已知曲线 $C : x^{2} + m y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $0 < m < 1$ ，则C是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 B、若 $m = 1$ ，则C是圆 C、若 $m > 1$ ，则C是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 D、若 $m = 0$ ，则C是两条平行于y轴的直线

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16、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，定义：经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且法向量为 $\vec{n} = (λ, μ, ω)$ 的平面的方程为 $λ (x - x_{0}) + μ (y - y_{0}) + ω (z - z_{0}) = 0$ .已知在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，经过点 $P (2, 2, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $2 - x = \frac{y}{2} - 1 = \frac{z}{3}$ ，经过点 $P$ 的平面 $α$ 的方程为 $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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17、一条光线从点 $P (0, 4)$ 射出，经直线 $x + y - 3 = 0$ 反射后，与圆 $C : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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18、已知 $A (\sqrt{3}, - 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $D (- 1, 2)$ ， $E (1, \sqrt{2})$ ，若从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 外的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $O$ 为坐标原点，直线 $x = \frac{a}{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $△ O A B$ 为直角三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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20、若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 y - 1 = 0$ 的圆心到两坐标轴的距离相等，则 $a =$ （）

A、 $\pm 1$ B、1 C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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