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1、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比q大于0，前n项和为 $S_{n}$ ，则“数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列”是“数列 $\{S_{n}\}$ 为单调递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 42 ， a_{2} + a_{4} + a_{6} = 48 ，$ 则 $S_{9} =$ （）

A、126 B、144 C、162 D、180

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3、已知直线 $l : y = k x + 1$ ，圆 $C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 4 ，$ 则直线 $l$ 与圆 $C$ 位置关系为（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、不确定

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4、下列选项正确的是（）

A、 $(sin 10^{\circ})^{'} = cos 10^{\circ}$ B、 $(lg x)^{'} = \frac{1}{x}$ C、 $[(2 x + 1) (2 x - 1)]^{'} = 8 x$ D、 $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$

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5、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离是 $4$ ，则点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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6、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c},$ 则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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7、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ B、 $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的外接球的表面积为 $\frac{41 π}{16}$

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8、折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是 $F$ ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 $E$ ；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点 $E$ ，此时圆周上与点 $E$ 重合的点标记为 $G$ ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 $G F$ 与折痕交于点 $P$ ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点 $P$ ．
现取半径为4的圆形纸片，定点 $E$ 到圆心 $F$ 的距离为2，按上述方法折纸．以线段 $E F$ 的中点 $O$ 为原点，线段 $E F$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (0, \sqrt{3})$ ，点A，B是曲线 $Γ$ 上两个不同的动点（不在 $y$ 轴上），直线 $M A, M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 1$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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9、已知函数 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 B、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{8}{5}$ C、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，则 $a \leq - e^{- \frac{3}{2}}$ D、当 $a < 0$ 时，若函数 $F (x) = f (x) + a x$ 有且只有一个零点，则 $a \in (- \frac{2}{5}, - \frac{1}{3})$

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为45°，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11、如图，B地在A地的正东方向 $4 km$ 处，C地在B地的北偏东 $30 °$ 方向 $2 km$ 处，河流的沿岸 $P Q$ （曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远 $2 km$ ．现要在曲线 $P Q$ 上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/ $km$ 、 $2 a$ 万元/ $km$ ，那么修建这两条公路的总费用最低是（）

A、 $(2 \sqrt{7} - 2) a$ 万元 B、 $5 a$ 万元 C、 $(2 \sqrt{7} + 1) a$ 万元 D、 $(2 \sqrt{3} + 3) a$ 万元

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12、已知点 $A (\sqrt{2} ， 1)$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 在椭圆上，点 $A$ 关于坐标原点的对称点为 $B$ ，直线 $A P$ 和 $B P$ 的斜率都存在且不为 $0$ ，试问直线 $A P$ 和 $B P$ 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

(3)、斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ A M N$ 面积的最大值，并求此时直线 $l$ 的方程．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ ，点 $Q$ 在棱 $C P$ 上（不与点 $C$ ， $P$ 重合）.

(1)、求证：平面 $D E Q ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的平面角的余弦值；

(3)、直线 $Q E$ 能与平面 $P C D$ 垂直吗？若能，求出 $\frac{C Q}{C P}$ 的值；若不能，请说明理由.

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14、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义一种运算“ $\otimes$ ”： $\vec{m} \otimes \vec{n} = | \vec{m} | | \vec{n} | \sin θ$ ．试求解下列问题：

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1), | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、①若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，用坐标 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 表示 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ ；
②在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 1), B (- 1, 2), C (0, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{\cos α}, \frac{2}{\sin α}), \vec{b} = (\frac{2}{\sin α}, - \frac{1}{\cos α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的最小值．

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15、如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{4}$ ，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 $A B C D$ (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 $△ D A M$ ，记 $∠ M O D = α .$

(1)、当角 $α$ 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.

(2)、若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元 $($ 不计桥的宽度 $)$ ；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.

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16、已知在 $△ A B C$ 中， $C = 2 A$ ， $cos A = \frac{3}{4}$ ， $A B = \frac{3}{2} B C$ 且 $2 \vec{B A} \cdot \vec{C B} = - 27$ ．

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、求 $A C$ 的长度．

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ 2 \overset{⃑}{b}$ ，求 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{c} = (- 2, 1)$ ， $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ ，求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值.

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18、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = - 1$ ，则 $|\vec{b} + \vec{c}|$ 的最小值为．

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19、关于平面向量有下列四个命题：
①若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ ；
②已知 $\vec{a} = (k, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 6)$ .若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $k = - 1$ .
③非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30°.
④ $(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) \cdot (\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) = 0$ .
其中正确的命题为.

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20、已知 $α$ 是第一象限角，且 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{5}{13}$ ，则 $tan (α - \frac{π}{3}) =$ .

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