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相关试卷

1、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若向量 $\vec{c} = \vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、设复数z满足 ${(1 + i)}^{2} z = 5 - 2 i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、设集合 $A = \{x \in N^{*} |2^{x} < 4\}, B = \{x \in N |- 1 < x < 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ B、 $\{x |x < 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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4、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, M, N$ 分别是棱 $A B, C C_{1}$ 的中点，则点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{174}}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β {(1 - β)}^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{3} (1 - a_{n}) (n \in N^{*})$ ．若 $2 + b_{n} = 3 \log_{\frac{1}{4}} a_{n}$ ，且数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、求证：数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{2}{3}$ ；

(3)、若 $c_{n} \leq \frac{1}{4} (t^{2} + t - 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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7、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C sin (A - B) = sin B sin (C - A)$ ．

(1)、求A取值的范围；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值；

(3)、若 $b = 2, A = 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 x + 3, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{matrix}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = a$ ，则 $x_{3} (x_{1} + x_{2} + ln x_{3})$ 的最大值为.

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ ，若 $△ A B C$ 的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，且 $b + c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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10、若曲线 $y = a x^{2}$ 与 $y = \ln x$ 有一条斜率为2的公切线，则 $a =$ .

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11、已知函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b) （ a \neq 0)$ 的极大值点为 $x = a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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12、已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布 $N (100, 100)$ ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973.)$ （）

A、标准差为100 B、及格率超过 $86 %$ C、得分在 $(70, 130]$ 内的人数约为997 D、得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

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13、将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到的图象对应的函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减，则m的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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14、如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为 $m$ ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 $n$ ，则 ${(\frac{n}{m} x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 15$ B、 $- 20$ C、15 D、20

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $|A F_{1}| = 4 \sqrt{2}$ ，求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的余弦值；

(3)、若 $M (- 2, 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点 $M$ 在以 $A B$ 为直径的圆上？请说明理由.

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16、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， $P A$ ⊥底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2 ， A B = 1$ ，点E为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B E ⊥ D C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $A - B D - P$ 的余弦值．

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17、分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示）

(1)、经过点 $A (3, 2)$ ，且与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直

(2)、经过两直线 $2 x + y - 8 = 0$ 与 $x - 2 y + 1 = 0$ 的交点，且与直线 $2 x - 3 y - 6 = 0$ 平行

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18、如图，已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点， $P, Q$ 为双曲线 $C$ 上两点，满足 $F_{1} P ∥ F_{2} Q$ ，且 $|F_{2} Q| = |F_{2} P| = 3 |F_{1} P|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ､ B$ 两点，若 $|B F| = 3 |A F|$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于.

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