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相关试卷

1、双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = a (x^{2} - y^{2})$ 是双纽线，关于曲线 $C$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a = 9$ B、 $C$ 上存在点 $(x_{0}, y_{0})$ ，使得 $\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} > 3$ C、 $C$ 上的点的纵坐标的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、若直线 $y = k x$ 与 $C$ 恰有一个公共点，则 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{5 - \cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$

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3、某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了 $n$ 份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在 $[90, 100)$ 内的人数为10，则（）

A、 $m = 0.01$ B、 $n = 100$ C、估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表） D、估计参赛选手得分的中位数在 $[70, 80)$ 内

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x - a$ ．若 $\forall x \in R, f (x - a^{2}) \leq f (x)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $(- \infty, 0]$

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5、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}}{a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n + 1}} = \frac{n}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{2024}}{a_{2}} =$ （）

A、 $2$ B、 $2024$ C、 $1012$ D、 $4048$

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6、如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且 $\vec{O B} = λ \vec{O A}$ ，则 $λ^{3} =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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7、函数 $f (x) = \ln x + 2 x$ 的图象在点 $(1, 2)$ 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 8 a_{4} = 1$ ，则 $S_{3} =$ （）

A、 $7$ B、 $5$ C、 $\frac{11}{8}$ D、 $\frac{7}{4}$

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9、抛物线 $3 y = 8 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $y = \frac{3}{32}$ B、 $y = - \frac{3}{32}$ C、 $x = \frac{2}{3}$ D、 $x = - \frac{2}{3}$

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10、若集合 $A = \{x | 0 < x + 1 < 3\}$ ， $B = \{x | x^{2} + x = 0\}$ ，则（）

A、 $- 1 \in (A \cap B)$ B、 $0 \in (A \cap B)$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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11、复数 $z = i (2 - 3 i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、一动圆 $C$ 与圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 外切，与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$ 内切.

(1)、设动圆圆心 $C$ 的轨迹为 $Γ$ ，求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、①若点 $A (- 2, 0), B (2, 0),$ $P$ 是直线 $x = 4$ 上的动点，直线 $P A, P B$ 与曲线 $Γ$ 分别交于 $M, N$ 两点，证明：直线 $M N$ 过定点；
②设 $△ A M N$ 和 $△ B M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值.

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中（如图1）， $A B = 2 B C = 2, M$ 为 $A B$ 的中点，将等边 $△ A D M$ 沿 $D M$ 折起，连接 $A B, A C$ ，且 $A C = 2$ （如图2）.

(1)、求证： $C M ⊥$ 平面 $A D M$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，若点 $P$ 到平面 $A B M$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$ ，求平面 $P D M$ 与平面 $B C D M$ 所成角的余弦值.

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14、甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为 $\frac{3}{5}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{7}{10}$ ，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.

(1)、求第3次投篮者为乙的概率；

(2)、求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.

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15、已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4, P$ 是直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上的一动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点分别为 $A, B$ .

(1)、当点 $P$ 的横坐标为2时，求切线的方程；

(2)、当点 $P$ 在直线 $l$ 上运动时，求四边形 $P A C B$ 面积的最小值.

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16、“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；

(2)、已知成绩落在 $[60, 70)$ 的学生平均成绩为62，方差为9，落在 $[70, 80)$ 的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数 $\bar{ω}$ 和总体方差 $s^{2}$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B, F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作线段 $B F_{2}$ 的垂线 $l$ ，垂线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $|M N| = 12$ ，则 $△ B M N$ 的周长为.

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18、过 $A (0, 0), B (6, 8), C (3, - 1)$ 三点的圆的标准方程为.

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19、设一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{8}$ 的平均数为11，则 $8 x_{1} + 2, 8 x_{2} + 2, \dots, 8 x_{8} + 2$ 的平均数为.

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20、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 的左、右焦点相同，分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内交于点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} b_{1}$ B、当 $e_{2} = \sqrt{3}$ 时， $e_{1} = \frac{2}{3}$ C、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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