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相关试卷

1、定义在R上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (1 + x) = - f (1 - x)$ ，对任何 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，且当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，设 $a = {log}_{5} 3, b = {(\frac{1}{6})}^{\frac{1}{2}}, c = {(\frac{1}{36})}^{\frac{3}{5}}$ ，则下列不等关系式成立的是（）

A、 $f (c) < f (b) < f (a)$ B、 $f (b) < f (c) < f (a)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (a) < f (c) < f (b)$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{a} (1 - a x), x < a \\ 2 x^{2} - (a + 1) x + 2 + a - a^{2}, x \geq a \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3} \leq a < 1$ D、 $0 < a \leq \frac{1}{3}$

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3、已知 $a \geq 0, b \geq 0$ 且 $3 a - 1 = - 2 b$ ，若 $\frac{1}{a + b} + \frac{4}{2 a + b} \geq - m^{2} + 10 m$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $1 \leq m \leq 9$ B、 $m \leq 1$ 或 $m \geq 9$ C、 $m \geq 9$ D、 $m \leq 1$

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4、“ $0 \leq a < 4$ ”是“函数 $y = {log}_{3} (a x^{2} - a x + 1)$ 的定义域为R”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知角 $θ \in [0, π]$ ，且满足 $sin θ + 2 cos θ = 0$ ，则 $\sin θ$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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6、若一扇形的圆心角的弧度数为3，且设扇形的半径为2，则该扇形的面积为（）

A、3 B、9 C、12 D、6

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7、命题“ $\forall x \in R, x^{2} + x + 5 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} + x + 5 \geq 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + x + 5 \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + x + 5 < 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} + x + 5 < 0$

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8、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $A = \{2, 3, 5, 6\}$ ，集合 $B = \{1, 3, 4, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3, 4\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{1, 3, 4, 5\}$ D、 $\{1, 4\}$

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9、圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝 $F_{2}$ ，与影片门 $F_{1}$ 应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，椭圆的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，一束光线从 $F_{2}$ 发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点 $F_{1}$ ，且 $\tan ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线所在直线方程为.

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10、已知F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $△ O P F$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4} a c$ （O为坐标原点），则C的离心率为．

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11、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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12、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ．点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 所构成的曲线为 $C$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、在 $C$ 上存在点 $D$ ，使得 $D$ 到点 $(1, 1)$ 的距离为3 C、在 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M O | = 2 | M A |$ D、 $C$ 上至少3个点到直线 $l : y = x + b$ 的距离等于1，则 $- 3 \sqrt{2} + 4 \leq b \leq 3 \sqrt{2} + 4$

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13、设 $B$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} P}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{65}}{13}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（）

A、事件A与事件B互为对立事件 B、事件A与事件B相互独立 C、 $P (B) = 3 P (A)$ D、 $P (A) + P (B) ＜ 1$

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15、如图所示，在平行六面体 $A B C D − A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，H分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， DE的中点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{F H}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示为（）

A、 $− \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} − \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $− \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} − \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} − \frac{1}{4} \vec{b} − \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} − \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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16、设矩形 $A B C D$ 的周长为 $20$ ，其中 $A B > A D$ .如图所示， $E$ 为 $C D$ 边上一动点，把四边形 $A B C E$ 沿 $A E$ 折叠，使得 $A B$ 与 $D C$ 交于点 $P$ .设 $D P = x$ ， $P E = y$ .

(1)、若 $A D = 3$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数 $y = f (x)$ ，并求定义域；

(2)、在（1）条件下，判断并证明 $y = f (x)$ 的单调性；

(3)、求 $△ A D P$ 面积的最大值.

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17、已知函数 $f (x) = a^{\sqrt{1 - a x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[2, 3]$ 上单调递增，则a的取值范围是．

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18、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - a| + a$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最大值是5，则a的取值范围是（）

A、 $[2, \frac{9}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{9}{2}]$ C、 $(- \infty, \frac{9}{2})$ D、 $[0, \frac{9}{2}]$

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19、已知 $y = x^{2} + 3 x + 1$ ， $x \in [- 2, 1]$ ，则 $y$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 5]$ B、 $[- \frac{5}{4}, - 1]$ C、 $[- \frac{5}{4}, 5]$ D、 $[- \frac{5}{4}, + \infty)$

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20、已知 $- 1 < x < 4$ ， $2 < y < 3$ ，则 $3 x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 18)$ B、 $(0, 16)$ C、 $(1, 18)$ D、 $(4, 17)$

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