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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4 \vec{b}) =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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2、椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为2，则m的值等于（）.

A、5 B、8 C、5或3 D、5或8

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3、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{3} a_{8} = 3$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{10} =$ （）

A、5 B、10 C、4 D、 $2 + \log_{3} 5$

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4、函数 $f (x) = x \cos x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $[- π, π]$ 上的图象大致为 (　　)

A、 B、 C、 D、

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5、已知复数z满足： $(2 + i) \bar{z} = 3 + 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{29}{25}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{5}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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6、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1) + x - 2$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，
（i）求 $△ O A B$ 面积的最大值；
（ii）设 $\vec{O Q} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，试证明点 $Q$ 在定直线上，并求出定直线方程．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = - 3$ ，且 $a_{n + 2} = λ a_{n} + a_{n + 1}$ ，则 $a_{5} =$ .

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9、对于随机事件A，B，若 $P (A) = \frac{2}{5}$ ， $P (B) = \frac{3}{5}$ ， $P (B| A) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{3}{20}$ B、 $P (A| B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A + B) = \frac{9}{10}$ D、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{2}$

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10、在 $(x + 1) (x + 2) (x + m) (x + n)$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是7，则 $m + n =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、定义：已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .设 $λ$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n + 1}^{\frac{1}{k}} - S_{n}^{\frac{1}{k}} = λ a_{n + 1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“ $λ & k$ ”数列.若数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 是“ $\frac{\sqrt{3}}{3} & 2$ ”数列，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $3 \times 4^{n - 2}$ B、 $\{\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ 3 \times 4^{n - 2} (n \geq 2) \end{matrix}$ C、 $4 \times 3^{n - 2}$ D、 $\{\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ 4 \times 3^{n - 2} (n \geq 2) \end{matrix}$

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12、已知 $F$ 是抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线的准线与 $x$ 轴的交点，且过点 $M$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相切于点 $P$ ， $|P F| = 2$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程.

(2)、设过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $M A$ 与 $E$ 的另一个交点为 $C$ ，点 $A$ 在 $M$ 与 $C$ 之间.
（i）证明： $x$ 轴平分 $∠ A M B$ .
（ii）记 $△ F B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ M F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $5 S_{2} - S_{1}$ 的取值范围.

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13、对于给定的正整数n，记集合 $R^{n} = \{\vec{α}| \vec{α} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{j} \in R, j = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n\}$ ，其中元素 $\vec{α}$ 称为一个n维向量．特别地， $\vec{0} = (0, 0, \cdot \cdot \cdot, 0)$ 称为零向量．设 $k \in R$ ， $\vec{α} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $\vec{β} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in R^{n}$ ，定义加法和数乘： $\vec{α} + \vec{β} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} + b_{n})$ ， $k \vec{α} = (k a_{1}, k a_{2}, \cdot \cdot \cdot, k a_{n})$ ．对一组向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， …， $\vec{α_{s}}$ （ $s \in N_{+}$ ， $s \geq 2$ ），若存在一组不全为零的实数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{s}$ ，使得 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{s} \vec{α_{s}} = \vec{0}$ ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

(1)、对 $n = 3$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
① $\vec{α} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{β} = (2, 2, 2)$ ；② $\vec{α} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{β} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{γ} = (5, 1, 4)$ ；③ $\vec{α} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{β} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{γ} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{δ} = (1, 1, 1)$ ．

(2)、已知向量 $\vec{α}$ ， $\vec{β}$ ， $\vec{γ}$ 线性无关，判断向量 $\vec{α} + \vec{β}$ ， $\vec{β} + \vec{γ}$ ， $\vec{α} + \vec{γ}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．

(3)、已知 $m (m \geq 2)$ 个向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， …， $\vec{α_{m}}$ 线性相关，但其中任意 $m - 1$ 个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ （ $k_{i} \in R$ ， $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m$ ），则这些系数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ ， $l_{1} \vec{α_{1}} + l_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + l_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ （ $k_{i} \in R$ ， $l_{1} \in R$ ， $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m$ ）同时成立，其中 $l_{1} \neq 0$ ，则 $\frac{k_{1}}{l_{1}} = \frac{k_{2}}{l_{2}} = \cdot \cdot \cdot = \frac{k_{m}}{l_{m}}$ ．

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14、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (a, 4)$ 在抛物线C上， $△ P O F$ （其中O为坐标原点）的面积为4．

(1)、求a；

(2)、若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 $\frac{4}{3}$ ，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．

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15、如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，且 $△ S A B$ 是边长为4的等边三角形， $C, D$ 为圆弧 $A B$ 的两个三等分点， $E$ 是 $S B$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $/ /$ 平面 $S A C$ ；

(2)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B D$ 所成锐二面角的余弦值.

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16、某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（万件）
50
96
142
185
227
若 $y$ 与 $x$ 线性相关，其线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 7.1$ ，则下列说法正确的是（）

A、线性回归方程必过 $(3, 140)$ B、 $\hat{b} = 44.3$ C、相关系数 $r < 0$ D、6月份的服装销量一定为272.9万件

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17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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18、已知正数x，y满足 $x + 3 x y + 2 y = 6$ ，则 $\sqrt{x y}$ 的最大值为．

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19、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0, f (2 x + 1)$ 是奇函数， $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，设函数 $g (x) = x f (x - \frac{1}{2})$ ，则 $g (1) + g (2) + g (3) + g (4) + g (5) =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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20、若存在实数对 $(a, b)$ ，使等式 $f (x) \cdot f (a - x) = b$ 对定义域中每一个实数 $x$ 都成立，则称函数 $f (x)$ 为 $H (a, b)$ 型函数.

(1)、若函数 $f (x) = e^{x}$ 是 $H (a, e)$ 型函数，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ 是 $H (a, b)$ 型函数，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(3)、已知函数 $h (x)$ 定义在 $[- 7, 9]$ 上， $h (x)$ 恒大于0，且为 $H (2, 4)$ 型函数，当 $x \in (1, 9]$ 时， $h (x) = - {({log}_{3} x)}^{2} + m \cdot {log}_{3} x + 2$ .若 $h (x) \geq 1$ 在 $[- 7, 9]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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月份编号x	1	2	3	4	5
销量y（万件）	50	96	142	185	227