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相关试卷

1、某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)、求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)、设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为 $X$ ， $Y$ ，求随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 和方差 $D (X)$ ， $D (Y)$ ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

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2、已知 $f (x) = a x^{3} - b x + 4, f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $- \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) + k = 0$ 有且只有一个实数根，求 $k$ 的取值范围.

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3、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

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4、如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为.

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5、计算： $A_{8}^{2} - C_{8}^{6} =$ .

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6、已知(a＋b)ⁿ的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7、若对于任意正数 $x ， y$ ，不等式 $x (1 + l n x) \geq x l n y - a y$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e}]$ C、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e^{3}}, + \infty)$

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8、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

A、4种 B、10种 C、18种 D、20种

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9、已知函数 $f (x) = |x + a| + b$ ，不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 ${x ∣ 0 < x < 6}$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的最小值为 $t$ ，若正实数 $m, n, p$ 满足 $m + 2 n + 3 p = t$ ，求 $\frac{1}{m + 2 p} + \frac{1}{2 n + p}$ 的最小值.

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 2 + \cos α \\ y = \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若 $A$ 为曲线 $C$ 上任意一点，将 $O A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O B$ ，求线段 $A B$ 中点 $M$ 的轨迹的极坐标方程.

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11、已知函数 $f (x) = 2 a e^{x} - \sqrt{x}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{8}$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数并说明理由；

(2)、若存在 $b \in (0, + \infty)$ ，使得当 $x \in (b, b + 2024)$ 时， $f (x) > e^{x} - a ln (x + 1) + 2 a - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，右焦点为 $F$ .过点 $F$ 的直线与双曲线 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $S$ ，且直线 $A M, B S$ 的斜率之积为 $- \frac{5}{4}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $B M, B N$ 分别与直线 $x = 1$ 相交于 $P, Q$ 两点，求证：以 $P Q$ 为直径的圆经过 $x$ 轴上的定点，并求出定点的坐标.

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13、如图，在正四面体 $P - A B C$ 中， $E, F$ 是棱 $P C$ 的两个三等分点．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求出二面角 $P - A B - E, E - A B - F, F - A B - C$ 的平面角中最大角的余弦值．

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14、某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．

(1)、已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生 $A$ 的成绩为76分，试估计学生 $A$ 在甲市的大致名次；

(2)、在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记 $X$ 表示在本次考试中化学成绩在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的人数，求 $P (X \geq 1)$ 的概率及 $X$ 的数学期望．
参考数据： ${0.9974}^{40} \approx 0.9011$
参考公式：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $\begin{array}{r} P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544, P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974. \end{array}$

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15、已知函数 $f (x) = {log}_{6} (2^{x} + 3^{x}), g (x) = {log}_{3} (6^{x} - 2^{x})$ ．给出下列四个结论：
① $f (\frac{1}{2}) < g (\frac{1}{2})$ ；
②存在 $x_{0} \in (0, 1)$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0}) = x_{0}$ ；
③对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $f (x) < g (x)$ ；
④对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $|x - f (x)| \leq |g (x) - x|$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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16、平面四边形 $A B C D$ 中， $B C = C D = 2, \frac{A B}{B D} = \frac{3}{4}, ∠ A B D = 90^{\circ}$ ，则 $A C$ 的最大值为．

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17、已知函数 $f (x) = 3 x - sin x$ ，若 $f (a) + f (a^{2} - 2) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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18、一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是.（写出一个你认为正确的答案即可）

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19、已知 $P$ 是抛物线 $C : x^{2} = 4 y + 20$ 上任意一点，若过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别记为 $A$ ， $B$ ，则劣弧 $A B$ 长度的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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20、在所有棱长均相等的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 在四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 内（含边界）运动．当 $C_{1} P = \frac{\sqrt{7}}{2} C C_{1}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该四棱柱的表面积为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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