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相关试卷

1、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，记 $|P A| = x$ ， $|P B| = y$ ， $|P C| = z$ ．

(1)、若 $c sin C - a sin A = (c - b) sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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2、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均相等，点 $D$ 为 $B_{1} C$ 的中点，点 $E$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若棱长 $|A B| = a$ ，求此直三棱柱的体积；

(3)、若三棱锥 $B - C D E$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求该三棱柱的外接球表面积．

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3、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 3$ ， $A A_{1} > B C$ ，其外接球的表面积为 $29 π$ ，平面 $A_{1} C_{1} B$ 截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ ，其体积为 $20$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} C_{1} B //$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求棱 $A A_{1}$ 的长；

(3)、求几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积．

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4、已知圆台的一个底面面积为 $π$ ，且有半径为 $\sqrt{2}$ 的内切球，则该圆台体积为．

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5、已知复数 $z$ 的实部为1，且 $|z| = 2$ ，若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ ， $p, q \in R$ 的根，则 $p + q =$ ．

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6、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为平面中的单位向量，满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{4}$ ，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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7、图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚 $A$ 处测得峰顶 $C$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，从 $A$ 出发选择地平面方向 $A D$ 使得 $∠ C A D = 60^{\circ}$ ，前进至点 $D$ 恰使 $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，测得前进距离 $|A D| = 150 m$ ．若峰顶 $C$ 在 $A D$ 所在地平面垂直投影点为 $H$ ，山坳处有一个憩息点 $B$ ，观测峰顶 $C$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ， $B$ 在地平面投影点 $T$ 落在 $A H$ 上， $A H = 5 T H$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|C H| = 150 m$ B、 $|B T| = 60 m$ C、从 $D$ 点观测峰顶 $C$ 的仰角为 $θ$ ，则 $tan θ = \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、从 $D$ 点观测点 $B$ 的仰角为 $φ$ ，则 $tan φ = \frac{2 \sqrt{33}}{33}$

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8、已知四棱锥 $P - A B C D$ 如图， $A B / / C D$ 且 $A B = 2 C D$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A P$ ， $A B$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、 $P C / /$ 平面 $D M N$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $D - A M N$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{9}{2}$ C、平面 $P C D$ 与平面 $P A B$ 的交线记为 $l_{1}$ ，则直线 $l_{1} / /$ 平面 $A B C D$ D、平面 $P D A$ 与平面 $P B C$ 的交线记为 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2} / /$ 平面 $D M N$

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9、设平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$

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10、已知圆锥的轴截面顶角为 $θ$ ，侧面展开扇形的圆心角为 $2 π - θ$ ，则 $θ$ 为（）

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不存在

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11、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ，球 $O$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的所有侧棱相切，并与底面 $A B C D$ 也相切，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12、已知复数 $z = 1 + \sqrt{3} i$ ， $i$ 为虚数单位，则对于 $t \in R$ ， $|z + t \cdot \bar{z}|$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点，对于 $B C$ 所在直线上的任意点 $P$ ，均有 ${|P A|}^{2} + {|P C|}^{2} \geq {|D A|}^{2} + {|D C|}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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14、如图的平面直角坐标系 $x O y$ 中，线段 $A B$ 长度为2，且 $∠ A B O = 60 °$ ，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为 $A^{'} B^{'}$ ，则 ${|A^{'} B^{'}|}^{2} =$ （）

A、4 B、 $\frac{7 - 2 \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{7 + 2 \sqrt{6}}{4}$ D、 $4 + \sqrt{6}$

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15、若 $a$ ， $b$ 表示两条直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a / / b$ ，则 $α / / β$ B、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ C、若 $α \cap γ = a$ ， $β \cap γ = b$ ， $a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $α \cap γ = a$ ， $β \cap γ = b$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$

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16、已知 $\vec{a} = (2, - \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{7} \vec{a}$

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17、若复数 $z = (1 + i) i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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18、若 $n$ 是数据 $3, 1, 2, 2, 3, 9, 10, 3$ 的第75百分位数，则二项式 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、240 B、90 C、12 D、5376

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 0) ， \vec{b} = (x, 1) ，$ 若 $\vec{b} \cdot (\vec{b} - 2 \vec{a}) = 0 ，$ 则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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20、已知 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、1

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