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相关试卷

1、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ B B_{1} C_{1}$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正三角形， $A_{1} B = A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{5}, A_{1} C_{1} = 2 \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B B_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $C A_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 6 ， C D = 2 \sqrt{6} ， D A = 8 ， A = \frac{2 π}{3} ，$ 点E在 $A D$ 上，且 $B E = \sqrt{19} .$

(1)、求 $A E$ ；

(2)、求 $△ B C D$ 的面积.

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3、已知连接正四面体各面的重心，可以得到一个小的正四面体，且小正四面体的每一个面都与原正四面体的一个面平行．据此推断，若四面体 $A B C D$ 的体积为4，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面围成一个新的四面体，则新四面体的体积为．

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4、函数 $f (x) = sin x - 2 |sin x|$ 在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{7 π}{6}]$ 上的值域为．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{5} + a_{6} = 2 a_{7}$ ，则 $q =$ .

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，恒有 $f (2 x_{1} x_{2}) = 1 + f (x_{1}) + f (x_{2})$ ，且 $f (2) = 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = - 1$ C、 $f (x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数 D、 $f (4 x) - f (x) = 2$

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $A (- 2, 0)$ 作斜率不为0的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 只有1个交点 $D$ ，过点 $B (- 1, 0)$ 作与 $l_{1}$ 平行的直线 $l_{2}$ 与 $C$ 交于 $G, H$ 两点，则（）

A、 $l_{1}$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $|G H| = 8 \sqrt{6}$ C、 $|D F| = 3$ D、 $△ D G H$ 的面积为2

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8、已知某市18岁男性市民的身高 $X$ （单位：cm）近似服从正态分布 $N (172, σ^{2})$ ，且 $P (X > 175) = 0.3$ ，则（）

A、该市18岁男性市民的平均身高为172cm B、从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过172cm的概率为0.5 C、从该市18岁男性市民中任选1名，其身高在 $172 cm - 175 cm$ 之间的概率为0.7 D、从该市18岁男性市民中任选1名，其身高不超过170cm与超过174cm的概率相等

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9、已知棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，点 $P$ 满足 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C_{1}}$ ，过点 $P$ 作与直线 $B_{1} C$ 垂直的平面 $α$ ，则 $α$ 截球 $O$ 所得截面面积为（）

A、 $\frac{64 π}{3}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{76 π}{9}$ D、 $63 π$

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10、已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的正三角形，点 $D$ 满足 $A D = 2$ ， $∠ B D C = \frac{π}{6}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，第一象限内的点 $P$ 在 $C$ 上，且 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}| = \frac{3}{5} |P F_{1}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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12、若函数 $f (x) = x (e^{x} - a)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2 e)$ B、 $(- \infty, 3 e^{2})$ C、 $(- \infty, 2 e]$ D、 $(- \infty, 3 e^{2}]$

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13、已知 $a = {0.3}^{0.9}, b = {log}_{0.9} 0.3$ ，则（）

A、 $b > 1 > a > 0$ B、 $0 < b < a < 1$ C、 $a > 1, b < 0$ D、 $b > a > 1$

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14、制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标，高于 $50 %$ 表示经济活动扩张，低于 $50 %$ 表示经济活动收缩．已知2024年1月－10月中国制造业采购经理指数依次为： $49.2 %$ ， $49.1 %, 50.8 %, 50.4 %, 49.5 %, 49 %, 49.4 %, 49.1 %, 49.8 %, 50.1 %$ ，则这10个数据的 $75 %$ 分位数为（）

A、 $49.1 %$ B、 $49.4 %$ C、 $49.8 %$ D、 $50.1 %$

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15、已知复数 $z = 2 + a (1 + i) (a \in R)$ 为纯虚数，则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、0 D、 $- 2 i$

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16、已知集合 $A = \{x | x^{2} = x\}, B = \{x \in N^{*} | x - 2 \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{1} B、 ${0, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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17、已知 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x + 1$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；
（3）在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ， $\frac{π}{6} \leq B \leq \frac{π}{2}$ ，求 $\cos B + \cos C$ 的取值范围.

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19、已知 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{4})$ ；

(2)、已知 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + β) = - \frac{4}{5}$ ．求 $\cos 2 β$ ．

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \sqrt{3} a cos C + c sin A = 0$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点， $C D = C A, A D = \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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