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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列结论正确的有（）

A、直线AC与A₁D所成的角为60° B、直线A₁D到平面AB₁C的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、直线B₁D与平面AB₁C所成的角为30° D、三棱锥B-A₁B₁D外接球的体积为 $4 \sqrt{3}$ π

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 上一点 $M (\frac{3 \sqrt{2}}{4} a, \frac{\sqrt{2}}{4} b)$ 作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于 $P$ ， $Q$ 两点．若 $∠ M O Q = 3 ∠ M O P$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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3、已知平行于圆锥底面的平面将圆锥的侧面分成面积相等的两部分，且原圆锥的高和底面圆的半径均为2，则截得的圆台的体积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ π B、 $\frac{8 - 2 \sqrt{2}}{3}$ π C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ π D、2 $\sqrt{2}$ π

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4、若 $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = \sin \frac{1}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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5、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{2 \cos x}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{2 \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{2 \sin 2 x}{e^{x} + e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{4 \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$

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6、设 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = {(b + 1)}^{3}$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、若集合 $A = \{x | y = \sqrt{- x^{2} + 1}\}, B = {x | |x - 1| \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 1, 1]$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 7, ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、已知点D在平面 $A B C$ 内，且 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，求四边形 $A B D C$ 的周长的最大值．

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9、如图， $A B$ 是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且 $A P ⊥ P Q$ ．

(1)、求证： $P Q ⊥ B Q$ ；

(2)、若 $A B = 4, A P = 1, B Q = 3$ ，求直线 $P Q$ 与平面 $A B Q$ 所成角的正弦值．

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10、已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第 $i$ 层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为 $n_{i}, \bar{x_{i}}, s_{i}^{2}, i = 1, 2$ ．记总样本数据的均值为 $\bar{x}$ ，总样本数据的方差为 $s^{2}$ ．

(1)、写出 $\bar{x}$ 与 $s^{2}$ 的计算公式（直接写出结果，不需证明）；

(2)、某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位： $cm$ ），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30．
（i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差；
（ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由．

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11、已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的所有棱长都为 $6$ ，点 $E$ 在侧棱 $S C$ 上，过点 $E$ 且垂直于 $S C$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $H$ ，则 $H$ 的边数至多为， $H$ 的面积的最大值为．

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12、如图，一条河两岸平行，河的宽度为 $400m$ ，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为 $5km/h$ ，水流速度的大小为 $3km/h$ ，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 $\min$ ．

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13、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = a + b i, a, b \in R, z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}$ ，其中O为原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{O Z_{1}} // \vec{O Z_{2}}$ ，则 $a + b = 0$ B、若 $\vec{O Z_{1}} // \vec{O Z_{2}}$ ，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}} \in R$ C、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $a = b$ D、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$

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14、设A，B易两个随机事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若A，B是互斥事件，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若A，B是相互独立事件，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ D、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则A，B是相互独立事件

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15、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $O A = 2, ∠ B A C = 45 °$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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16、已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30 °$ ，则（）

A、圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B、圆锥的侧面积为 $3 π$ C、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $45^{\circ}$ D、圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$

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17、如图， $A, B$ 是海面上位于东西方向相距 $(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ 、B点北偏西 $60 °$ 的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西 $60 °$ 且与B点相距 $4 \sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（）

A、0.2小时 B、0.3小时 C、0.5小时 D、1小时

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A E // B C_{1}$ B、 $A E ⊥ B_{1} C$ C、 $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ D、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C E$

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19、已知 $l$ 是一条直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平而，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $l // α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l // β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $α // β$ ，则 $l ⊥ β$

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20、从 $1 ~ 30$ 这 $30$ 个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被 $2$ 整除也不能被 $3$ 整除的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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