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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {log}_{3} (a x^{2} + b x + c)$ ，以下说法正确的有（）

A、若 $y = f (x)$ 的定义域是 $(- 1, 3)$ ，则 $a > 0$ B、若 $y = f (x)$ 的定义域是 $R$ ，则 $a > 0$ C、若 $f (- x) = f (1 + x)$ 恒成立，则 $a + b = 0$ D、若 $a < 0$ ，则 $y = f (x)$ 的值域不可能是 $R$

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2、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值是 $\frac{1}{8}$ B、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是8 D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$

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3、设函数 $f (x)$ 在R上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对任意的 $x \in R$ ，有 $f (- x) - f (x) = 0$ ，且 $x \in [0, + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > 2 x$ ．若 $f (a - 2) - f (a) \geq 4 - 4 a$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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5、若函数 $f (x) = \sqrt{m x^{2} - m x + 2}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 8)$ B、 $(8, + \infty)$ C、 $[0, 8]$ D、 $(- \infty, 0) \cup (8, + \infty)$

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6、设集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}, B = \{y ∣ y = \sqrt{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0,2)$ B、 $[0,2)$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 2, + \infty)$

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7、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $O$ ， $M$ 分别为 $B D$ ， $E F$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、四点 $B$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一平面内 B、三条直线 $B F$ ， $D E$ ， $C C_{1}$ 有公共点 C、直线 $A_{1} C$ 与直线 $O F$ 不是异面直线 D、直线 $A_{1} C$ 上存在点 $N$ 使 $M$ ， $N$ ， $O$ 三点共线

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8、若函数 $f (x)$ 为定义域 $D$ 上单调函数，且存在区间 $[a, b] \subseteq D$ （其中 $a < b$ ），使得当 $x \in [a, b]$ 时， $f (x)$ 的取值范围恰为 $[a, b]$ ，则称函数 $f (x)$ 是D上的正函数，区间 $[a, b]$ 叫做等域区间.

(1)、是否存在实数m，使得函数 $g (x) = x^{2} + m$ 是 $(- \infty, 0)$ 上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $h (x) = x^{2} + 2 m x + m$ ，且不等式 $a \leq h (x) \leq b$ 的解集恰为 $[a, b] (a, b \in Z)$ ，求函数 $h (x)$ 的解析式.并判断 $[a, b]$ 是否为函数 $h (x)$ 的等域区间.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (2 x + \frac{π}{3}) - \cos^{2} x + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边， $f (A) = \frac{1}{4}$ ， $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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10、 $(x + \frac{1}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为．

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11、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2024) = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称 C、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = - g (4 - x)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有2025个交点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{2025}, y_{2025})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2025} (x_{i} + y_{i}) = 4050$ D、当实数 $k \in (- \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{5}}{10}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{\sqrt{6}}{6})$ 时，关于 $x$ 的方程 $|f (x)| + f (|x|) = k x$ 恰有四个不同的实数根

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13、已知随机变量 $X$ 服从正态分布，即 $X ~ N (4, 5)$ ，则（）

A、 $E (X) = 20$ B、 $D (X) = 5$ C、 $P (X \leq 2) + P (X \leq 6) = 1$ D、 $P (X \geq 8) < P (X \leq - 1)$

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14、已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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15、已知复数 $z$ 满足 $5 + z i = z (1 - i)$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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16、已知全集 $I = N$ ，集合 $A = \{x \in I |2 \leq x \leq 10\}$ ， $B = {x |x$ 为素数 $}$ ，则 $A \cap ∁_{I} B =$ （）

A、 $\{4, 6, 8, 10\}$ B、 $\{4, 5, 6, 8, 9\}$ C、 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ D、 $\{4, 6, 8, 9, 10\}$

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17、把函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + cos ω x (0 < ω < 3)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, a)$ 上存在极大值点和极小值点，则实数 $a$ 的取值范围为 $(\frac{2 π}{3}, + \infty)$

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18、已知直线 $m$ 和平面 $α, β$ ，则下列命题中正确的有（）

A、若 $α // β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β, m ⊥ α$ ，则 $m // β$ C、若 $m // β, m ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$

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19、如图，直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，则函数 $g (x) = f (x) - k x$ 在 $(0, + \infty)$ 上的极大值点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、已知 $f (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若对任意 $x \in I$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $I$ 上的非负函数.

(1)、判断 $f (x) = x - e \ln x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，并说明理由.

(2)、已知 $n$ 为正整数， $g (x) = n x - a \ln x (a > 0)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，记 $a$ 的最大值为 $a_{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列.

(3)、已知 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ，函数 $h (x) = \frac{n^{x}}{x^{n}} (x > 0)$ ，若 $F (x) = h (x) - h (b_{n})$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，证明： $\sum_{n = 2}^{2025} \frac{1}{b_{n}} < {(\ln 2025)}^{2}$ .

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