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相关试卷

1、函数 $f (x) = \log_{3} x - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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2、设 $a = \sin 30 °$ ， $b = \cos 45 °$ ， $c = \sin 35 °$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三者的大小关系是（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b<c<a$

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3、已知角 $α$ 终边上一点 $P (4, - 3)$ ，则 $\tan α =$ （　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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4、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（　　）

A、 $\exists \in R$ ， $x + 2 > 0$ B、 $\forall \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ C、 $\forall \in R$ ， $x + 2 > 0$ D、 $\exists \in R$ ， $x + 2 \geq 0$

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5、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则集合 $A \cap B =$

A、 $\{3\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{1, 2, 4, 5\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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6、对于一个单调递增的正整数数列 $\{a_{n}\}$ ，若对于任意不小于2的正整数 $m, a_{m}$ 不能表示为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m - 1}$ 中若干不同项之和，则称 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”.

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1, b_{2} = 2, b_{n + 2} = b_{n + 1} + b_{n}$ ，记集合 $S = \{x ∣ x \neq b_{n}, x \in N^{*}\}$ ， $S$ 中的元素由小到大排列得到数列 $\{B_{n}\}$ ，列举 $\{B_{n}\}$ 的前五项，并判断 $\{B_{n}\}$ 是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由；

(2)、已知 $\{c_{n}\}$ 为“好数列”，对于给定的正整数 $m$ ，若存在正整数 $t$ ，使得 $c_{t} \leq m < c_{t + 1}$ ，则记 $t = f (m)$ ，设 $S_{n}$ 为 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
（i）证明： $S_{4} \geq f (S_{4}) + 6$ ；
（ii）证明：对任意的正整数 $s, k$ ，有 $f (s) \leq c_{k} + \frac{s}{k + 1}$ .

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7、已知函数 $f (x) = e^{m x} - m n ln (x + n) (m > 0, n > 0)$ ，函数 $g (x) = x ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的单调性；

(2)、记函数 $F (x) = f (x) - f (- x)$ ，若 $F (x)$ 为减函数，且存在 $n$ ，使得 $m n ln n > 1$ ，求 $m$ 的取值范围.

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8、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $a^{2} - a b cos C = 2 b c cos A$ ， $B = 45^{\circ}$ . $△ A B C$ 外一点 $E$ 满足 $B E = 2 A E$ ，且 $∠ A E B$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ .

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、证明： $C D ⊥ A B$ ；

(3)、若 $c = 3, D E = 2$ ，求 $C E$ .

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9、设抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .已知 $F$ 到直线 $l : y = 2 x - 4$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，过 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知点 $P (0, 3)$ ，直线 $A P$ 交 $E$ 于点 $C$ .若 $B C$ $∥$ $l$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 1, B_{1} C = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A A_{1}$ 中点，求平面 $A B C$ 与平面 $B_{1} C D$ 夹角的正弦值.

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11、设 $n (n ⩾ 3)$ 为正整数，从集合 $\{0, 1, 2, \dots, n\}$ 的所有二元子集中任取两个，记为 $\{s, t\}$ ， $\{i, j\}$ ，其中 $s < t, i < j, \{s, t\}$ 与 $\{i, j\}$ 可以相同.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，记直线 $y = s, y = t$ 与直线 $x = i, x = j$ 的四个交点分别为 $A, B, C, D$ ，则以 $A, B, C, D$ 为顶点的四边形为正方形的概率为.（用含 $n$ 的代数式表示）附参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

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12、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数为 $4, x_{i}^{2} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数为22，则样本数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \dots, 2 x_{5} + 1, 9$ 的方差为.

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13、曲线 $y = \sqrt{x} - ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为.

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, \forall a, b \in R, {[f (a)]}^{2} - m {[f (b)]}^{2} = f (a + b) f (a - b)$ ，其中 $m$ 为给定的常数，且 $f (x)$ 不为常函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $m = 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 C、 $m = 0$ 或1是 $f (x)$ 存在的充要条件 D、当 $m = 0$ 时， $f (x)$ 没有最值

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15、设双曲线 $E : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2} . P$ 为 $E$ 上一点，且位于第一象限，直线 $P A_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S$ ，则（）

A、 $tan ∠ P A_{1} A_{2} \cdot tan ∠ P A_{2} A_{1} = 1$ B、 $∠ P A_{2} Q = 90^{\circ}$ C、若 $|A_{1} A_{2}| = |A_{2} P|$ ，则 $|A_{1} P| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $∠ A_{1} P A_{2} = 30^{\circ}$ ，则 $S = \sqrt{6}$

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16、已知正四面体 $P A B C$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $A P ⊥ B C$ B、 $A P$ 与 $B C$ 的距离为 $\sqrt{6}$ C、二面角 $A - B P - C$ 的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、正四面体 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{6}$

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17、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ . $P$ 为 $C$ 上一点， $⊙ P$ 的半径为 $|P F|$ ，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $⊙ P$ 于 $M, N$ 两点， $M$ 在 $N$ 的左侧.记 $C$ 的离心率为 $e$ ，点 $M$ 轨迹的离心率为 $e_{1}$ ，点 $N$ 轨迹的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{1}$ C、 $e_{1} < e$ D、 $e < e_{2}$

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18、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) + tan (\frac{α}{2} - \frac{π}{4}) = cos α$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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19、已知圆柱 $M M_{1}$ 与圆锥 $N N_{1}$ 的体积与侧面积均相等，若 $N N_{1}$ 的轴截面为等腰直角三角形，则 $M M_{1}$ 与 $N N_{1}$ 的底面半径之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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20、若函数 $f (x) = e^{x + 1} + e^{a - x} + {(x + b)}^{2}$ 关于直线 $x = 2$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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