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相关试卷

1、长度为6的线段 $P Q$ ，设线段中点为G，线段 $P Q$ 的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.

(1)、求点G的轨迹方程；

(2)、设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线 $H B$ 与直线 $A D$ 交于点M，直线 $C H$ 与直线 $y = - 3$ 交于点N.试判断直线 $M N$ 与 $B D$ 的位置关系，并证明你的结论.

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2、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程及过点 $M (- 2, 1)$ 的切线方程；

(2)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，且 $∠ M C N = 120 °$ ，求实数 $a$ 的值．

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3、已知空间内三点 $A (0, 2, 3)$ ， $B (- 2, 1, 6)$ ， $C (1, - 1, 5)$ ．

(1)、求以向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 为一组邻边的平行四边形的面积 $S$ ；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 都垂直，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 的坐标．

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4、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ ， $M, N$ 分别为圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 上的动点， $P$ 为直线 $l : y = x + 2$ 上的动点，则 $| M P | + | N P |$ 的最小值为．

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5、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为 $6 \sqrt{3}$ m，行车道总宽度BC为 $2 \sqrt{11}$ m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是．

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6、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ D、若空间向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 、 $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} // \vec{n}$ ， $\vec{n} // \vec{p}$ ，则 $\vec{m} // \vec{p}$

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} = 12 \sqrt{6}$ B、直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、向量 $\vec{B_{1} C}$ 与 $\vec{A A_{1}}$ 的夹角是 $60^{\circ}$ D、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$

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8、已知 $O$ 为原点， $\vec{O A} = (1, 2, 3), \vec{O B} = (2, 1, 2), \vec{O P} = (1, 1, 2)$ ，点 $Q$ 在直线 $O P$ 上运动，则当 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 取得最小值时，点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ B、 $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4})$

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9、如图，在正四面体 $O - A B C$ 中， $M$ 为棱 $O C$ 的中点， $N$ 为棱 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，则异面直线 $A M$ 与 $C N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{9}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 4, 0), B (0, 4), C (2, 0)$ ，则其欧拉线方程为（）

A、 $x - y - 2 = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x + y + 2 = 0$

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11、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距与另一条直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距相同，则点 $P (\sqrt{3}, 2)$ 到直线 $l$ 的距离为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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12、直线 $l_{1}$ ： $2 x - 3 y + 5 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + y - 10 = 0$ 的交点坐标是（）

A、 $(5, 5)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(8, 5)$

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13、如图，四边形ABCD是正方形， $P B ⊥$ 平面ABCD， $M A / / P B, P B = A B = 2 M A$ ．

(1)、求证： $D M / /$ 平面PBC；

(2)、求二面角 $M - P D - C$ 的正弦值．

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14、已知 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ .

(1)、若 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $t \vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数 $t$ 的值；

(2)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值；

(3)、若向量 $(2 \vec{a} - λ \vec{b})$ 与 $(λ \vec{a} - 3 \vec{b})$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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15、作用于同一点 $O$ 的三个力 $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ 处于平衡状态，已知 $| \vec{F_{1}} | = 1$ ， $| \vec{F_{2}} | = 2$ ， $\vec{F_{1}} 与 \vec{F_{2}}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $\vec{F_{3}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 夹角的大小为.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{c}{a} = \frac{1 + cos C}{2 - cos A}, c = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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17、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} ＝ 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的最小值为．

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18、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 $O, G, H$ 分别为三角形 $A B C$ 的外心､重心､垂心，且 $M$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ B、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ D、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A O} + \frac{2}{3} \vec{A H}$

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19、在 $△ A B C$ 中，下列结论中，正确的是（）

A、若 $cos 2 A = cos 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ C、若 $A B^{2} + A C^{2} > B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $A = 60^{°}, A C = 4$ ，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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20、已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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