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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - a) e^{x}$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线垂直于直线 $2 x + y + 1 = 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B, P A = P B, A B = 4, B C = 1$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为；二面角 $P - A C - B$ 的正弦值的最小值为．

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3、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心．若函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{2}{2025}) + \dots + f (\frac{2025}{2025}) =$ ．

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4、若函数 $f (x) = 2 e^{2 x} + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 3)$ 处的切线方程为．

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ，直线 $y = a$ 与函数 $f (x)$ 的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a \in (0, 4)$ B、过点 $(0, 4)$ 作函数 $f (x)$ 的切线，有且只有三条 C、若 $m + n = 2$ ，则有 $f (m) + f (n) = 4$ D、 $x_{1} x_{2} x_{3} = a - 4$

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6、下列说法正确的是（）

A、 $A_{n + 2}^{n + 2} - A_{n + 1}^{n + 1} = {(n + 1)}^{2} A_{n}^{n}$ B、将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C、某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D、 $C_{n}^{5 - n} + C_{n + 1}^{9 - n} = 5$

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7、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B、若 $< \vec{a}, \vec{b} >$ 是锐角，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ C、已知 $\vec{A B} = (- 1, \frac{1}{2}, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (1, 2, 1)$ ，则 $A B ∥ α$ D、已知向量组 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{2 \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底

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8、设函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - 3 a x + 3 a$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{1}{3})$ B、 $[\frac{3}{2 e}, 1)$ C、 $[\frac{4 \sqrt{e}}{3 e}, 1)$ D、 $[\frac{3}{4 e}, \frac{1}{3})$

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9、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x f^{'} (x) + 2 f (x) = e^{x}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$ D、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$

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10、毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（）

A、96 B、84 C、72 D、48

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11、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - t x^{2} + 3 x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{19}{2}, + \infty)$ C、 $[3 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (1, x, 1), \vec{c} = (1, - 2, - 1)$ ，当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{6} \vec{c}$ D、 $- \vec{c}$

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13、自然对数 $e$ 也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一， $e$ 的近似值约为 $2.7182818 \dots$ ，若用欧拉数的其中 $6$ 位数字 $1, 8, 2, 8, 1, 8$ 设置一个 $6$ 位数的密码，则不同的密码有（）个

A、 $720$ B、 $180$ C、 $60$ D、 $260$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，则 $\frac{|A F_{2}|}{|B F_{2}|} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 2)$ ， $\vec{c} = (7, 6, λ)$ ，若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $λ$ 的值为（）.

A、8 B、9 C、10 D、11

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16、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、 $f (x) \geq 2$ 当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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17、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{n}{x}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有唯一零点；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ ．
（i）数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{n + 1 + ln n}{2}$ ．

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18、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元．记 $n (n \geq 10)$ 局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ 的最大值．

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的正弦值．

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20、设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，其中 $a < b < c$ ．若 $f (1 + x) f (2 - x) \leq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + b + c =$ ．

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