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相关试卷

1、若复数 $z = \frac{- i}{- 1 + 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ ．

(1)、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、①已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ_{1}$ 和 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 的夹角为 $θ_{2}$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = d (\vec{c}, \vec{d})$ 的充分必要条件是 $\sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ ；
②在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ 且 $A D = \frac{4}{3}$ ，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $d (\vec{P A}, \vec{P B})$ ．

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3、已知双曲线 $C_{1} : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与曲线 $C_{2} : 3 {(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 6$ 有4个交点A，B，C，D（按逆时针排列）.

(1)、若方程 $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 有4个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ .证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - a$ ， $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = b$ .

(2)、设O为坐标原点，证明： ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} + {|O C|}^{2} + {|O D|}^{2}$ 为定值；

(3)、求四边形ABCD面积的最大值.

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4、已知函数 $f (x) = x \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求证：当 $0 < x \leq 1$ 时， $2 f (x) \geq x^{2} - 1$ ；

(3)、若 $h (x) = x^{2} - 2 t |1 + \frac{f (x)}{x}|$ .其中 $0 < t < 1$ .讨论函数 $h (x)$ 的零点个数.

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5、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ .

(1)、求证： $\frac{1}{2} \leq a_{n} < 1$ ；

(2)、令 $b_{n} = \log_{2} \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，证明： $\frac{1}{b_{1}^{2}} + \frac{1}{b_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}^{2}} < \frac{7}{4}$ .

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6、甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且每人每次投中与否互不影响.

(1)、求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；

(2)、求“乙获胜”的概率.

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7、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的垂线，垂足为 $M ．$ 若 $|F_{1} M| = \sqrt{3} b$ ，则离心率的取值范围为．

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8、 $2^{2025}$ 除以7的余数为．

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9、已知 $\frac{cos α - sin α}{cos α + sin α} = \frac{1}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ .则（）

A、 $x = \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 的对称轴 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = 1$

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11、下列命题正确的有（）

A、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，且至少过一个样本点 B、两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C、将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变 D、将9个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\ln x|, x > 0 \end{array}$ ，则方程 $f (f (x) - 2) = 2$ 实数根的个数为（）

A、6 B、7 C、10 D、11

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13、已知三棱锥 $P - A B C$ 四个顶点都在球O面上， $P A = P B = P C = 2$ ， $∠ A P B = 90 °$ ， M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（）

A、 $\frac{128}{7} π$ B、 $\frac{64}{7} π$ C、 $\frac{32}{7} π$ D、 $\frac{16}{7} π$

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14、已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 12$ ， $S_{8} = 40$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、56 B、60 C、64 D、68

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15、若函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 2}{2^{x}}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、无解

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16、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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17、设 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ 是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = \{x ||x + 1| > 1\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{x} > 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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19、已知复数z在复平面内满足 $|z| \leq 1$ ，则复数 $z$ 对应的点Z的集合所形成图形的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $2 π$

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20、组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质： $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}$ .小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.

(1)、计算： ${(C_{2}^{0})}^{2} + {(C_{2}^{1})}^{2} + {(C_{2}^{2})}^{2}$ ， ${(C_{3}^{0})}^{2} + {(C_{3}^{1})}^{2} + {(C_{3}^{2})}^{2} + {(C_{3}^{3})}^{2}$ ，并与 $C_{4}^{2}$ ， $C_{6}^{3}$ 比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明；

(2)、证明： $\sum_{k = 0}^{2 n} {(- 1)}^{k} {(C_{2 n}^{k})}^{2} = {(- 1)}^{n} C_{2 n}^{n}$ ；

(3)、利用上述（1）（2）两小问的结论，证明： $\sum_{k = 1}^{n} {(C_{2 n}^{2 k - 1})}^{2} = \frac{1}{2} [C_{4 n}^{2 n} + {(- 1)}^{n - 1} C_{2 n}^{n}]$ .

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