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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - ln x + ln a$ ，若 $f (x) \geq 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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2、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ .其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列 $\{a_{n}\}$ 称为“斐波那契数列”.记 $S_{n}$ 为“斐波那契数列” $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2023} = a$ ， $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2024}^{2} = b$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{b}{a + 1}$ B、 $\frac{b - 1}{a + 1}$ C、 $\frac{b}{2 a + 1}$ D、 $\frac{b + 1}{2 a + 1}$

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3、已知函数 $f (x) = \ln x - {(x - a)}^{2} (a \in R)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上存在单调递增区间，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{9}}{b_{1} + b_{19}}$ 的值为（）

A、 $\frac{13}{11}$ B、 $\frac{21}{10}$ C、 $\frac{13}{22}$ D、 $\frac{21}{20}$

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5、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{4}{2 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、-2 B、4 C、1 D、 $- \frac{4}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (2 + x) - f (2)}{x}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.

(1)、求 $2 \cos α - \cos β$ 的值；

(2)、若△ABD的面积为 $S_{1}$ ， △BCD的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值.

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8、正四棱锥P-ABCD，点E在棱PB上，满足 $\frac{P E}{P B} = \frac{1}{3}$ ，点F在棱PC上，满足 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{2}$ .

(1)、证明：PA//平面BDF；

(2)、点G是棱PB上一点，且EF//平面ACG，求三棱锥D-ACG与四棱锥P-ABCD的体积之比.

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9、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足 $b \cos C + c \cos B = \sqrt{2} a \cos C$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ， $S_{△ A B C} = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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10、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m^{2} - 4 m + 3) i, m \in R$ .

(1)、若m = 0，求|z|；

(2)、若z是纯虚数，求m的值；

(3)、若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围.

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (2, y)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求x与y的值；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角的大小.

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12、半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段 $D E$ ， $B C$ 上，则 $F M + M N + A N$ 的最小值为.

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13、在△ $A B C$ 中， $B C = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ，且 $B = \frac{π}{6}$ ，则 $A =$ ．

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14、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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15、已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，且 $z_{1} \neq 0$ ，则 $z_{2} = z_{3}$

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16、对于 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > C$ ，则 $sin A > \sin C$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $a = 4, b = 5, C = 60^{\circ}$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个

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17、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 C、直线 $M N$ 与 $A C$ 是相交直线 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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18、如图，在直角梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = 4$ ， $C D = 2$ ， M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若 $\overset{⃑}{B P} = λ \overset{⃑}{B M} + μ \overset{⃑}{B C}$ ，且 $λ + 2 μ = 1$ ，则 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最小值是（　　）

A、 $- 7$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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19、如图，三棱锥 $S － A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $∠ A C B = 30 °$ ， $A C = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ， $S A = 1$ .则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{32}{3} π$ B、 $13 π$ C、 $\frac{52 \sqrt{13}}{3} π$ D、 $\frac{13 \sqrt{13}}{6} π$

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20、小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 $15 (\sqrt{3} - 1)$ m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、20 m B、30 m C、20 $\sqrt{3}$ m D、30 $\sqrt{3}$ m

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