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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．再将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{π}{2}, π]$ 时，求函数 $g (x)$ 的取值范围．

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2、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为棱 $C C_{1}$ 上任意一点．

(1)、确定向量 $\overset{⃑}{A M}$ 在平面ABC上的投影向量，并求 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{B C}$ ；

(2)、确定向量 $\overset{⃑}{A M}$ 在直线BC上的投影向量，并求 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{B C}$ ．

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3、2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名候选者面试成绩的平均数．

(2)、现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．

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4、已知全集为 $R$ ，集合 $A = \{x |0 < 2 x + a \leq 3\}$ ， $B = \{x |- \frac{1}{2} < x < 2\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、若函数 $f (x) = {sin}^{4} x + {cos}^{4} x - \frac{7}{8} (- \frac{π}{6} < x < m)$ 恰有4个零点，则 $m$ 的取值范围为．

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6、已知直线m，n，平面α，β，若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则直线m与n的关系是

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7、已知 $a > b > 0$ ，且 $a + 3 b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{12}$ B、 $a b$ 的最小值为 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为16 D、 $a^{2} + 15 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{5}{8}$

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8、(多选)为了得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只要把函数 $y = \cos x$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ C、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长

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9、下列命题中，正确的有（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $b < a < 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ D、若 $a > 0$ ， $b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{b} < \frac{c + a}{b + a}$

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10、函数 $y = \frac{1}{1 - x}$ 的图象与函数 $y = 2 sinπ x (- 2 \leq x \leq 4)$ 的图象所有交点的横坐标之和等于（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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11、如图，在曲柄 $C B$ 绕 $C$ 点旋转时，活塞 $A$ 做直线往复运动，连杆 $A B = 4 cm$ ，曲柄 $C B = 1 cm$ ，当曲柄 $C B$ 从初始位置 $C B_{0}$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 时，活塞 $A$ 从 $A_{0}$ 到达 $A$ 的位置，则 $A_{0} A =$ （）

A、 $\frac{11 - \sqrt{61}}{2} cm$ B、 $\frac{11 - \sqrt{51}}{2} cm$ C、 $\frac{9 - \sqrt{61}}{2} cm$ D、 $\frac{9 - \sqrt{51}}{2} cm$

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12、设集合 $A = {x | x = 2 k + 1, k \in Z}, a = 5$ ，则有（）

A、 $a \in A$ B、 $- a \notin A$ C、 ${a} \in A$ D、 ${a} \supseteq A$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $a = 2, b = \sqrt{3}, C = 30^{\circ}$ ，则 $c$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14、如图，已知点列 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ 在曲线 $y^{2} = x$ 上，点列 $B_{n} (a_{n}, 0)$ 在x轴上， $A_{1} (1, 1)$ ， $B_{1} (0, 0)$ ， $△ B_{n} A_{n} B_{n + 1}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；（直接写出结果）

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{n (n + 1)}{2} < \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{n + 1}} < \frac{n (n + 2)}{2}$ ．

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15、巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
60
40
100
女生
20
80
100
合计
80
120
200

(1)、根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？

(2)、该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球的概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率；

(3)、现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据．
证明： $\frac{P (B |A)}{P (\bar{B} |A)} \cdot \frac{P (\bar{B} |\bar{A})}{P (B |\bar{A})} = \frac{P (A |B)}{P (\bar{A} |B)} \cdot \frac{P (\bar{A} |\bar{B})}{P (A |\bar{B})}$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (χ^{2} \dots k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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16、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} = 2 n a_{n} + n (n - 1)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求证： $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{3} - 3$ ， $a_{6} - 3$ ， $a_{8} - 3$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最大值．

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17、每年6月26日为国际禁毒日，某校高二年级组织了7个社团小队在校内进行禁毒知识宣讲活动，校团委记录了7个队宣讲活动的参与人数，得到下表：
社团编号（队）
一
二
三
四
五
六
七
参与人数（人）
101
133
213
143
157
169
185

(1)、若从这7个队中随机选择1个队，求该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率；

(2)、若从这7个队中随机选择4个队，X表示4个队中宣讲活动的参与人数超过160人的队数，求X的分布列和数学期望．

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18、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是一个边长为 $1$ 的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 是棱 $P D$ 的中点， $P A = 1$ ．

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值．

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19、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若 $|A F_{2}| = \frac{1}{4} |F_{2} B|$ ，则该双曲线的离心率为．

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20、在二项式 ${(\frac{x}{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	60	40	100
女生	20	80	100
合计	80	120	200

社团编号（队）	一	二	三	四	五	六	七
参与人数（人）	101	133	213	143	157	169	185

$P (χ^{2} \dots k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828