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相关试卷

1、 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + x$ ；则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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2、设 $a, b \in (0, 1)$ ，则“ $a = b$ ”是“ ${log}_{a} b = {log}_{b} a$ ”的（　　）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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3、已知集合 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $M = \{- 2, 2\}$ ， $N = \{x| - 1 \leq x \leq 1, x \in N\}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $[0, 1]$

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4、已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $C_{1}$ 的长轴是圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆 $C_{1}$ 的左焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $l_{2}$ 交圆 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求四边形 $P M Q N$ 面积的最小值.

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5、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量 $($ 单位：克 $)$ ，重量分组区间为 $[5, 15]$ ， $(15, 25]$ ， $(25, 35]$ ， $(35, 45]$ ，由此得到样本的重量频率分布直方图 $($ 如图 $)$ ．
（1）求 $a$ 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量 $[5, 15]$ 内的小球个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $A D = C D = 2 B C = 4$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，点 $G$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $C D ∥$ 平面 $P B G$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P B = P D = 2$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{5} = 5$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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8、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $D$ 是边 $A B$ 上的点， $C D = 5$ ， $C B = 7$ ， $D B = 3$ .

(1)、求cos B与 $△ C B D$ 的面积；

(2)、求边AC的长.

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9、已知双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，右焦点为 $F$ ，若点 $N (0, 6)$ ， $M$ 是双曲线 $C$ 的左支上一点，则 $Δ F M N$ 周长的最小值为

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10、已知点 $P (4, 3)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则 $\tan (π + α) =$ ．

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11、已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为.

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $Q$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $N$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $C Q ⊥ B N$ B、 $C Q ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ C、 $B N ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、直线 $B N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为30°

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13、设{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，且S₇＜S₈ ， S₈＝S₉＞S₁₀ ，则下列结论正确的是（）

A、d＜0 B、a₉＝0 C、S₁₁＞S₇ D、S₈、S₉均为S_n的最大值

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14、“ $x > 3$ ”是“ $x > π$ ”的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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15、函数 $f (x) = x^{3} + x - 4$ 的零点所在的区间为

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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16、设 $a = \log_{3} \frac{1}{3}$ ， $b = {0.5}^{3}$ ， $c = 3^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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17、若各项为正的无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对于 $\forall n \in N^{*}, \ln a_{n + 1} - \ln a_{n} = d$ ，其中 $d$ 为非零常数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为指形数列；若数列 $\{c_{n}\}$ 满足： $m + n = 2 k (m, n, k \in N^{*}$ ，且 $m \neq n)$ 时，有 $c_{m} + c_{n} >$ $2 c_{k}$ ，则称数列 $\{c_{n}\}$ 为凹形数列.

(1)、若 $a_{n} = 10^{n}$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由；

(2)、若 $a_{1} = e$ ，证明指形数列 $\{a_{n}\}$ 也是凹形数列；

(3)、若指形数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，令 $a_{1} = e^{d}, b_{n} = a_{2 n - 1}, n \in N^{*}$ ，求使得 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} \geq \frac{8}{9} \cdot \frac{e^{d}}{1 - e^{2 d}}$ 成立的最小正整数 $n_{0}$ .

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18、设函数 $f (x) = \frac{1}{2} a e^{2 x} - (a + 1) e^{x} + x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a > 0$ ，证明 $f (x)$ 只有一个零点.

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19、在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.

(1)、若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.

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20、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中.

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P A = A B = 2 \sqrt{2}$ ，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.

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