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1、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 $O$ 的半径2，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦 $A C$ ， $B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 C、当 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ 时， $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 4, 0]$

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2、设a、b是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）

A、若 $a // α, b // α$ ，则 $a // b$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a // b$ C、若 $a // b, b // α, a ⊄ α$ ，则 $a / / α$ D、若 $a // α, α // β, a ⊄ β$ ，则 $a / / β$

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3、已知复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i (m \in R)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = \pm 1$ B、若 $z$ 为实数，则 $z = 0$ C、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = 2 x$ 上，则 $m = - 1$ D、 $z$ 在复平面内对应的点不可能在第三象限

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4、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，且 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $60 °$ B、 $120 °$ C、 $30 °$ D、 $150 °$

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5、设向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则（）

A、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $x = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $x = - 1 + \sqrt{3}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件

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6、已知函数 $f (x) = \sin (2 π x - \frac{π}{5})$ ，则该函数在（）

A、 $(- \frac{3}{20}, \frac{7}{20})$ 上单调递增 B、 $(- \frac{1}{5}, \frac{3}{10})$ 上单调递增 C、 $(\frac{3}{10}, \frac{4}{5})$ 上单调递减 D、 $(\frac{3}{20}, \frac{13}{20})$ 上单调递增

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7、已知集合 $M = \{(i, j, k, w)| i \in \{1, 2\}, j \in \{3, 4\}, k \in \{5, 6\}, w \in \{7, 8\}, 且 i + j + k + w 为偶数\}$ ．给定数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ ，和序列 $Ω : T_{1}, T_{2}, \dots T_{s}$ ，其中 $T_{t} = (i_{t}, j_{t}, k_{t}, w_{t}) \in M (t = 1, 2, \dots, s)$ ，对数列 $A$ 进行如下变换：将 $A$ 的第 $i_{1}, j_{1}, k_{1}, w_{1}$ 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 $T_{1} (A)$ ；将 $T_{1} (A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, k_{2}, w_{2}$ 项均加1，其余项不变，得到数列记作 $T_{2} T_{1} (A)$ ；……；以此类推，得到 $T_{s} \dots T_{2} T_{1} (A)$ ，简记为 $Ω (A)$ ．

(1)、给定数列 $A : 1, 3, 2, 4, 6, 3, 1, 9$ 和序列 $Ω : (1, 3, 5, 7), (2, 4, 6, 8), (1, 3, 5, 7)$ ，写出 $Ω (A)$ ；

(2)、是否存在序列 $Ω$ ，使得 $Ω (A)$ 为 $a_{1} + 2, a_{2} + 6, a_{3} + 4, a_{4} + 2, a_{5} + 8, a_{6} + 2, a_{7} + 4, a_{8} + 4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $Ω$ ；若不存在，请说明理由；

(3)、若数列 $A$ 的各项均为正整数，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 为偶数，求证：“存在序列 $Ω$ ，使得 $Ω (A)$ 的各项都相等”的充要条件为“ $a_{1} + a_{2} = a_{3} + a_{4} = a_{5} + a_{6} = a_{7} + a_{8}$ ”．

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8、设函数 $f (x) = x + k ln (1 + x) (k \neq 0)$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t)) (t > 0)$ 处的切线．

(1)、当 $k = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间.

(2)、求证： $l$ 不经过点 $(0, 0)$ .

(3)、当 $k = 1$ 时，设点 $A (t, f (t)) (t > 0)$ ， $C (0, f (t))$ ， $O (0, 0)$ ， $B$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点， $S_{△ A C O}$ 与 $S_{△ A B O}$ 分别表示 $△ A C O$ 与 $△ A B O$ 的面积．是否存在点 $A$ 使得 $2 S_{△ A C O} = 15 S_{△ A B O}$ 成立？若存在，这样的点 $A$ 有几个？
（参考数据： $1 .0 9 < ln3 < 1.10$ ， $1.60 < ln5 < 1.61$ ， $1.94 < ln7 < 1.95$ ）

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $P E ⊥ A D$ ， $P E = D E = 2$ ．

(1)、若 $F$ 为线段 $P E$ 中点，求证： $B F //$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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10、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，以椭圆 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 $(0, t) (t > \sqrt{2})$ 且斜率存在的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A, B$ ，过点 $A$ 和 $C (0, 1)$ 的直线 $A C$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $D$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；

(2)、若直线BD的斜率为0，求t的值．

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $cos B = \frac{9}{16} ， b = 5 ， \frac{a}{c} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $sin A$ ；

(3)、求 $cos (B - 2 A)$ 的值．

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12、已知曲线 $C_{1}$ ： $f (x) = e^{x} + a$ 和曲线 $C_{2}$ ： $g (x) = \ln (x + b) + a^{2} (a, b \in R)$ ，若存在斜率为1的直线与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 同时相切，则b的取值范围是.

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13、天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线 $(C a s s i n n i O c a l) .$ 在平面直角坐标系中，设定点为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ ，点 $O$ 为坐标原点，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ .下列四个命题中，正确的是（）

A、点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B、点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[- 4, 4]$ C、 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的最小值为 $4$ D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积的最大值为 $2$

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14、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ， $f (x) + f (1 - x) = 1$ ， $f (\frac{x}{5}) = \frac{1}{2} f (x)$ ，且当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时， $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则 $f (\frac{1}{2024}) =$ （）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{128}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{32}$

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15、函数 $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x}$ 与 $y = 3 \sin \frac{π x}{2} + 1$ 的图像有 $n$ 个交点，其坐标依次为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n}, y_{n})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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16、已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（）

A、 $8 : 5 \sqrt{3}$ B、 $4 : 5 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3} : 5$ D、 $4 : 11 \sqrt{3}$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + (4 a - 3) x + 3 a, & x < 0 \\ \log_{a} (x + 1) + 1, & x \geq 0 \end{matrix} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $R$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$ B、 $(0, \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{3}{4}, 1)$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{3}{4})$

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18、已知 $2 cos (2 α + β) - 3 cos β = 0$ ，则 $tan α tan (α + β) =$ （）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、-5 D、 $- \frac{1}{5}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, λ)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ．若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、12 D、 $- 12$

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = i^{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

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