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相关试卷

1、已知椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(2, 0)$ .

(1)、求 $W$ 的方程；

(2)、直线 $x - m y + 1 = 0 (m \neq 0)$ 交 $W$ 于 $A, B$ 两点.
（i）点 $A$ 关于原点的对称点为 $C$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k$ ，证明： $\frac{k}{m}$ 为定值；
（ii）若 $W$ 上存在点 $P$ 使得 $\vec{A P}, \vec{P B}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量相等，且 $△ P A B$ 的重心在 $y$ 轴上，求直线 $A B$ 的方程.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (a + 1) x + ln x, g (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - 2$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $f (x) + g (x) \geq 2 ln x - a x - 1$ ．

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3、2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为 $\frac{1}{2}$ ，良好的概率为 $\frac{1}{3}$ ；在续航测试中结果为优秀的概率为 $\frac{2}{5}$ ，良好的概率为 $\frac{2}{5}$ ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为 $ξ$ .

(1)、求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；

(2)、求离散型随机变量 $ξ$ 的分布列与期望.

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4、已知 $a 、 b 、 c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 的对边，且 $a = \sqrt{7}$ ， $c = 1, A = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $b$ 及 $△ A B C$ 的面积S；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ，求 $∠ A D B$ 的正弦值．

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5、定义： $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数， $\{x\}$ 表示不小于 $x$ 的最小整数，如 $[1.2] = 1$ ， $\{1.2\} = 2$ .设函数 $f (x) = \{x [x]\}$ 在定义域 $[0, n) (n \in N^{*})$ 上的值域为 $C_{n}$ ，记 $C_{n}$ 中元素的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{2} =$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} =$

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且点 $M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离为 $6$ ，则 $|M F| =$ .

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7、已知长轴长、短轴长和焦距分别为 $2 a 、 2 b$ 和 $2 c$ 的椭圆 $Ω$ ，点 $A$ 是椭圆 $Ω$ 与其长轴的一个交点，点 $B$ 是椭圆 $Ω$ 与其短轴的一个交点，点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为其焦点， $A B ⊥ B F_{1}$ ．点 $P$ 在椭圆 $Ω$ 上，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则（）

A、 $a, b, c$ 成等差数列 B、 $a, b, c$ 成等比数列 C、椭圆 $Ω$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $△ A B F_{1}$ 的面积不小于 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积

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8、如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 $E - A B C D - F$ ，且该八面体的各棱长均相等，则（）

A、异面直线AE与BC所成的角为 $60 °$ B、 $B D ⊥ C E$ C、平面 $A B F ∥$ 平面CDE D、直线AE与平面BDE所成的角为 $60 °$

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x - 2 {sin}^{2} x$ ，给出下列四个选项，正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}]$ 上是减函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sqrt{2} sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向下平移1个单位得到

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10、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}, g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，若 $f (m) = g (n) < 0$ ，则 $m n$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $- 1$ D、1

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11、现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（）

A、180 B、240 C、288 D、300

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12、已知 ${(1 - 2 x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 18$ B、 $a_{9} = - 2^{9}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} = - 1$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = - \frac{1 + 3^{9}}{2}$

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13、某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）： $1.7, 2.3, 1.9, 2.1, 2.2, 2.1, 1.9, 1.7, 2.2, 1.9$ ．若该平台自媒体人的粉丝数 $X \sim N (μ, σ^{2})$ （其中 $μ$ 和 $σ$ 分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（）
（1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0；
（2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04；
（3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8；
（4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135．
（附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足： $f (x)$ 的图象是连续不断的且 $y = f (x + 2)$ 为偶函数.若 $\forall x_{1}, x_{2} \in [2, 4]$ 有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $f (65.5) < f (- 24.5) < f (83.5)$ B、 $f (- 24.5) < f (65.5) < f (83.5)$ C、 $f (65.5) < f (83.5) < f (- 24.5)$ D、 $f (- 24.5) < f (83.5) < f (65.5)$

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15、已知向量 $\vec{a} = (λ, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知集合 $A = \{x \in Z |- 4 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x \in N |x + 1 < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1\}$

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17、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 3, x \leq 2, \\ - x + 5, 2 < x < 10. \end{matrix}$

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ ， $f (f (6))$ 的值；

(2)、求满足 $f (a) = 6$ 的实数a的值；

(3)、求 $y = f (x)$ 的定义域和值域．

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18、在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， D为BC的三等分点（靠近B点）．

(1)、求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值；

(2)、若点P满足 $\overset{⃑}{C P} = λ \overset{⃑}{C A}$ ，求 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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19、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - x + 1 - a \leq 0$ ．
（1）当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式；
（2）当 $2 \leq x \leq 3$ 时，不等式 $a x^{2} - x + 1 - a \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、已知复数 $z = m + 2 + (m - 2) i (m \in R)$ ， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，且 $z + \bar{z} = 6$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若 $z - 3 i$ 是关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．

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