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相关试卷

1、图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{7} A_{8} = 1$ ，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ 的长度构成的数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、1 C、10 D、100

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2、已知抛物线C： $x^{2} = 12 y$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ ，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，圆 $M$ 上的两点 $A, B$ 满足 $A O = 2 A F, B O = 2 B F$ ，其中 $O$ 是坐标原点，动点 $P$ 在圆 $M$ 上运动，则 $P$ 到直线 $A B$ 的最大距离为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $4 + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3、已知 $A (m, 2), B (n, 3)$ ， C是抛物线 $M : x^{2} = 4 y$ 上的三个点，F为焦点， $D (4, 3)$ ，点C到x轴的距离为d，则 $|A F| + |B F| + |C D| + d$ 的最小值为（）

A、10 B、 $6 + 2 \sqrt{5}$ C、11 D、 $7 + 2 \sqrt{5}$

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4、若点 $P (2, 3)$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + a = 0$ 外，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 11, + \infty)$ B、 $(- 11, 2)$ C、 $(- 8, 2)$ D、 $(- 8, + \infty)$

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5、直线 $l_{1} : (3 a + 1) x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x - 3 y + 3 = 0$ ，则“ $a = \frac{5}{3}$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、向量 $\vec{a} = (2 x, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2 y, 9)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{2}{3}$ B、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{3}{2}$ C、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ D、 $x = y = 1$

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7、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、命题“ $\exists x \in R$ ， $1 < f (x) \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq 1$ 或 $f (x) > 2$ ” C、若 $x \in R$ ，则函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、当 $x \in R$ 时，不等式 $k x^{2} - k x + 1 > 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $[0, 4)$

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8、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} - 1, x \geq 4, \\ a^{x - 3}, x < 4 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 8]$ D、 $(1, 16]$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (t - 1) > 0$ .

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10、已知正数a，b满足 $a b = a + b + 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最小值为 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $16 \sqrt{2}$

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11、已知函数 $f (x) = ln x + sin x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最小值．

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12、设数列 $\{a_{n}\} \{a_{n} \in R\}$ 是公比为q的等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $a_{1} = a$ ， $q = 1$ ，求数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和；

(2)、若 $S_{3}$ ， $S_{9}$ ， $S_{6}$ 成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ， $a_{p}$ 成等差数列；

(3)、若存在正整数 $k (1 \leq k \leq n)$ ，使得数列 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{n} (n \geq 4)$ 在删去 $S_{k}$ 以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对 $(n, q)$ 所构成的集合，

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13、已知函数 $f (x) = \log_{k} x$ （ $k$ 为常数， $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ），且数列 $\{f (a_{n})\}$ 是首项为 $4$ ，公差为 $2$ 的等差数列．
（1）求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列；
（2）若 $b_{n} = a_{n} + f (a_{n})$ ，当 $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值；
（3）若 $c_{n} = a_{n} \lg a_{n}$ ，问是否存在实数 $k$ ，使得 $\{c_{n}\}$ 是递增数列？若存在，求出 $k$ 的范围；若不存在，说明理由．

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 - n) x - 2 n$ 的图象与 $x$ 轴正半轴的交点为 $A (a_{n}, 0)$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ ．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = 3^{a_{n}} + {(- 1)}^{n - 1} \cdot λ \cdot 2^{a_{n}}$ （ $n$ 为正整数），问是否存在非零整数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $b_{n}_{+ 1} > b_{n}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n + 1} - 2^{n}$ $(n \in N_{+})$

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 2^{n}}{3^{n}}$ ，证明数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，满足 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4} > a_{5} \geq 0$ ，且对任意 $i ､ j (1 \leq i \leq j \leq 5)$ 有 $a_{i} - a_{j}$ 仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：① $a_{5} = 0$ ；② $4 a_{4} = a_{1}$ ；③数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；④集合 $A = \{x ∣ x = a_{i} + a_{j}, 1 \leq i \leq j \leq 5\}$ 中共有9个元素.则其中真命题的序号是（）

A、①②③④ B、①④ C、②③ D、①③④

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17、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $0 < a_{1} < a_{4} = 1$ ，则能使不等式 $(a_{1} - \frac{1}{a_{1}}) + (a_{2} - \frac{1}{a_{2}}) + \dots + (a_{n} - \frac{1}{a_{n}}) \leq 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中满足 $a_{1} = 15$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、7 C、 $\frac{27}{4}$ D、 $2 \sqrt{15} - 1$

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19、已知{a_n}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a₃_n_－1}是等比数列；②{a_n＋a_n_＋1}是等比数列；③{a_n·a_n_＋1}是等比数列；④{lg|a_n|}是等比数列．其中正确命题的个数是(　　)

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n + 1} = k a_{n} + 3 k - 3$ ，其中 $k$ 为不等于 $0$ 与 $1$ 的常数，若 $a_{i} \in {- 678, - 78, - 3, 22, 222, 2222}, i = 2, 3, 4, 5$ ，则满足条件的 $a_{1}$ 所有可能值的和为．

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