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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $\{\frac{2^{n} a_{n}}{n}\}$ 为等差数列， $\{\frac{a_{n}}{n (n + 1)}\}$ 为等比数列， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求 $a_{2}$ 的值，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、探究 $\{a_{n}\}$ 是否存在唯一的最大项；

(3)、证明： $S_{n} < 8$ ．

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2、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C C_{1} = 2$ ， E，F分别为棱AB， $A_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；

(2)、设T为线段 $D_{1} C_{1}$ 上一点，当平面 $C E F ⊥$ 平面 $A_{1} D T$ 时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值．

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3、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2$ ， $b \sin C + c \sin B = b \cos C + c \cos B$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，求 $b c$ 的值．

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4、已知双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点为A，右焦点为 $F$ ， $P$ ， $Q$ 是 $C$ 上的两点，线段 $P Q$ 的中点为 $R$ ．当 $P F ⊥ A F$ 时， $|P F| = |A F|$ ．

(1)、求C的离心率；

(2)、若 $R (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，求直线 $P Q$ 的一般式方程．

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5、幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同．现将1～16填入4×4幻方，部分数据如图所示，则m的取值集合是．

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6、某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为 $840m$ ，则最长步道为 $m$ ．

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7、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 $m =$ ．

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，若 $\forall m$ ， $n \in D$ ，都有 $f (m) + f (n) \leq f (m + n)$ ，则称 $f (x)$ 是次可加函数，则（）

A、 $f (x) = \ln x$ （ $0 < x \leq 2$ ）是次可加函数 B、 $f (x) = \sin x$ （ $- π \leq x \leq 0$ ）是次可加函数 C、若 $D = N$ ， $f (0) = 0$ ， $f (1) = 1$ ，则次可加函数 $f (x)$ 可以是周期函数 D、若 $D = Z$ ， $f (0) = 0$ ， $f (1) = 1$ ，则次可加函数 $f (x)$ 的表达式不唯一

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9、化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度 $pH$ 值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差 $X$ 和乙小组进行的实验数据的误差 $Y$ 均符合正态分布，其中 $X \sim N (0.3, 0.0001)$ ， $Y \sim N (0.28, 0.0004)$ ，已知正态分布密度函数 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ，记 $X$ 和 $Y$ 所对应的正态分布密度函数分别为 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ，则（）

A、 $f_{1} (0.3) > f_{2} (0.28)$ B、乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C、 $P (X < 0.28) + P (X \leq 0.32) = 1$ D、 $P (Y < 0.31) < P (X < 0.31)$

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10、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = 1$

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11、设抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足 $A F = A D$ ， $B E ⊥ E F$ ， $∠ E B H = ∠ E F B$ ，则 $|E H| \cdot |D F| =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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12、已知正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若 $A B = 2$ ，则当 $\frac{R}{r}$ 最小时，该正六棱柱的体积为（）

A、36 B、42 C、48 D、24

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13、长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（）

A、90 B、120 C、150 D、180

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14、 $\tan \frac{π}{5} \sin \frac{2 π}{5} + \sin \frac{π}{10} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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15、某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件 $J_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）表示随机事件“第i（ $i = 1, 2, 3$ ）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（）

A、 $J_{1} \cap J_{2}$ B、 $\bar{J_{2} \cup J_{3}}$ C、 $J_{1} \cap J_{2} \cap \bar{J_{3}}$ D、 $\bar{J_{1}} \cap \bar{J_{2}} \cap \bar{J_{3}}$

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16、已知向量 $\vec{m} = (1, - 5)$ ， $\vec{n} = (- 4, 6)$ ，则 $\vec{m} \cdot (\vec{n} - \vec{m}) =$ （）

A、 $- 60$ B、 $- 45$ C、34 D、65

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17、已知 $z = \frac{2 + (a - 2) i}{i}$ （ $a \in R$ ）为纯虚数，则 $a =$ （）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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18、已知集合 $A = \{- 7, - 3, 1, 5\}$ ， $B = \{x| y = \lg (x + 2)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 7, - 3\}$ B、 $\{1, 5\}$ C、 $\{- 3, 1, 5\}$ D、 $\{5\}$

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19、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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