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相关试卷

1、若对于任意正数 $x_{1}, x_{2}$ ，不等式 $a x_{2} \geq x_{1} (ln x_{2} - ln x_{1} - 1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为.

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2、已知 ${(x^{3} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的二项展开式中各项系数和为 $1024$ ，则展开式中常数项的值为.

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3、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）

A、2次传球后球在丙手上的概率是 $\frac{1}{4}$ B、3次传球后球在乙手上的概率是 $\frac{1}{3}$ C、3次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{1}{4}$ D、n次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{1}{3} [1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}]$

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4、某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（）

A、至多有1件不合格品的抽法种数为 $C_{2}^{1} C_{198}^{2}$ B、都是合格品的抽法种数为 $C_{200}^{3}$ C、至少有1件不合格品的抽法种数为 $C_{2}^{1} C_{198}^{2} + C_{2}^{2} C_{198}^{1}$ D、至少有1件不合格品的抽法种数为 $C_{200}^{3} - C_{198}^{3}$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，圆O与y轴负半轴的交点为Q，若直线PQ与x轴的交点M平分线段 $O F_{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - m x$ 有4个零点，则m的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{e})$ B、 $(- 2, 0] \cup {\frac{1}{e}}$ C、 $(- 2, 0] \cup {\frac{1}{4}}$ D、 $(- \infty, 0] \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{e})$

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}, a_{1} = 1, a_{5} = 4$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8、如果物体的运动函数为 $s = \frac{1}{t} + 2 t, t > 1 ，$ 其中 $s$ 的单位是米， $t$ 的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（）

A、 $\frac{7}{4}$ 米/秒 B、 $\frac{9}{4}$ 米/秒 C、 $\frac{3}{2}$ 米/秒 D、 $\frac{5}{2}$ 米/秒

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9、如图，在棱长为1正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P，Q分别是线段 $B_{1} D_{1}$ ， $B D_{1}$ 上的动点，点E是棱 $B B_{1}$ 的中点，下列命题正确的有（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B P$ 所成的角为定值 B、 $P Q + Q A$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$ C、三棱锥 $A - P B C$ 的体积随P点的变化而变化 D、过点E作平面 $α$ ，当 $α$ //平面 $A B_{1} D_{1}$ 时，平面 $α$ 与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为 $3 \sqrt{2}$

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10、如图，为了测量河对岸的塔高 $A B$ ，某测量队选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测量得 $∠ C D B = 120^{°}, C D = 30$ 米，在点 $C, D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角分别为 $30^{°}, 45^{°}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $30$ 米 B、 $30 \sqrt{2}$ 米 C、 $30 \sqrt{3}$ 米 D、 $15 \sqrt{2}$ 米

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（　　）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $\frac{9}{2}$

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12、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 是方程 $x^{2} - x + 2 = 0$ 的两根，则（）

A、 ${\bar{z}}_{1} = z_{2}$ B、 $z_{1} z_{2} = 1$ C、 $z_{1} z_{2} = {|z_{1}|}^{2}$ D、 $\frac{z_{1} + z_{2}}{1 - i}$ 在复平面内所对应的点位于第四象限

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x \cos 2 x + \cos^{2} 2 x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{24}, \frac{1}{2})$ 对称 C、若 $f (x + t)$ 是偶函数，则 $t = \frac{π}{12} + \frac{k π}{4}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[0, 1]$

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14、英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ， $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ．以上公式称为泰勒公式．设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{6})$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

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15、红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c e^{d x}$ （其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度 $x$ （℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ .
参考数据 $(z = \ln y)$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
5215
2347.3
33.6
27
81.3
3.6

(2)、现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.

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16、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (x) + 2 x - 4 \ln x - \frac{2}{x}$ 的单调区间和极值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq (a - 1) x + 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、（1）已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中共有7项.求展开式中的常数项；
（2）已知 $m \in N^{*}$ ， $n \in N^{*}$ ， $f (x) = {(1 + x)}^{m} + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为 $5$ ，含 $x^{2}$ 项的系数为 $4$ ，求 $f (0.003)$ 的近似值.（精确到0.01）

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18、2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？

(2)、用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - {log}_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则（）

A、当 $a = e$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ B、函数 $f (x)$ 恒有1个极值点 C、若曲线 $y = f (x)$ 有两条过原点的切线，则 $e^{- \frac{1}{6 e^{4}}} < a < 1$ D、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $1 < a < e^{\frac{1}{3 e}}$

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20、已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a_{7} = 128$ ； B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = - 2$ ； C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7} = - 14$ ； D、 $a_{0} + 2 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3} + 5 a_{4} + 6 a_{5} + 7 a_{6} + 8 a_{7} = - 15$ ．

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参考数据 $(z = \ln y)$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$	$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
5215	2347.3	33.6	27	81.3	3.6

	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	40		80
感染支原体肺炎		40
合计	120		200

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828