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相关试卷

1、2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组： $[0, 40)$ ， $[40, 80)$ ， $[80, 120)$ ， $[120, 160)$ ， $[160, 200)$ ， $[200, 240)$ ， $[240, 280]$ （观看时长均在 $[0, 280]$ 内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、采用分层抽样的方法在观看时长在 $[200, 240)$ 和 $[240, 280]$ 的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在 $[200, 240)$ 的概率.

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2、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x + t (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最大值为3，最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上的值域，并指出 $f (x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的值.

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3、已知 $△ A B C$ 的三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，而且满足 $\frac{a^{2} \sin B \sin C}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2}$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，边AB上的中点为D，求CD的长度.

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4、已知存在两个正数 $x$ 和 $y$ 满足 $\{\begin{cases} 4 x + \frac{1}{y} = a, \\ \frac{1}{x} + 9 y = 26 - a, \end{cases}$ 则实数 $a$ 的取值范围是．

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5、 $\min {a, b}$ 表示 $a, b$ 两个数中的最小值，则函数 $f (x) = \min {- 2 x^{2} + x + \frac{7}{8}, \log_{\frac{1}{2}} (x + \frac{1}{4})}$ 的最大值为.

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6、若 $A (3, 1)$ ， $B (- 2, k)$ ， $C (8, 1)$ 三点能构成三角形，则实数 $k$ 的取值范围为.

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7、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 2 A B = 2 A A_{1} = 4$ ， E是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过点B，E， $D_{1}$ 的平面 $α$ 交棱AD于点F，点P为线段 $D_{1} F$ 上一动点，则（）

A、三棱锥 $P - A B E$ 的体积为定值 B、存在点P，使得 $D P ⊥ α$ C、直线PE与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\sqrt{2}$ D、三棱锥 $P - B B_{1} E$ 外接球表面积的取值范围是 $[12 π, 44 π]$

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8、下列说法正确的是（）

A、 $y = a x - 2 a + 3 (a \in R)$ 直线必过定点 $(2, 3)$ B、直线 $y + 1 = 2 x$ 在y轴上的截距为1 C、直线 $x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角为 $150 °$ D、点 $A (2, - 3) ， B (- 3, - 2)$ ，直线 $l : m x + y - m - 1 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则实数m的取值范围是 $m \leq \frac{3}{4}$ 或 $m \geq 4$

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9、甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）

A、平均数为67 B、平均数为66 C、方差为296 D、方差为287

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10、下列不是古典概型的是（）

A、任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B、求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C、在甲、乙、丙、丁 $4$ 名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D、抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点

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11、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2, x \in [0, 1) \\ 2 - x^{2}, x \in [- 1, 0) \end{cases}$ 且 $f (x + 2) = f (x)$ ， $g (x) = \frac{2 x + 5}{x + 2}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 在区间 $[- 5, 1]$ 上的所有实根之和为（）

A、 $- 6$ B、 $- 7$ C、 $- 8$ D、 $- 9$

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12、已知棱长为a的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P为棱 $A A_{1}$ 上一点，过 $P B_{1} D_{1}$ 的平面截得三棱锥 $A_{1} - P B_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{24} a^{3}$ ，则异面直线 $P B_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{51}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{51}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{8}$

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13、已知 $A$ ， $B$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，若点 $P (1, 2)$ 在以 $A B$ 为直径的圆上，则 $|A B|$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ C、 $2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ D、 $2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})$

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于直线 $y = x$ 对称，若 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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15、“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”是“ ${log}_{2} x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${3, 4, 5}$ C、 ${- 1, 3, 4, 5}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}$

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17、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\sqrt{2}, 4)$ ，则 $α =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、8

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18、克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中 $C D = \sqrt{3} A D$ ．

(1)、若圆O的半径为r，且 $∠ C B D = 2 ∠ A B D$ ，
(ⅰ)求 $∠ A B D$ 的大小；
(ⅱ)求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围(用r表示)．

(2)、若 $A D = 1, B C = 2, ∠ A D C \in [\frac{2π}{3}, \frac{5π}{6}]$ ，求线段BD长度的最大值．

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19、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， $A B ⊥ D E, A B / / E F, A B = B D = 6, E F = 4,$ $∠ E A D = ∠ E A B, \cos ∠ E A B = \frac{3}{4}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面ACE；

(2)、求点E到平面ABCD的距离；

(3)、求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值．

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20、某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：
根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．

(1)、估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；

(2)、求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；

(3)、现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率．

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