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相关试卷

1、下列命题中不正确的是（）

A、圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B、正四棱锥的侧面都是正三角形 C、用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D、以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台

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2、“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：
则第8行的第7个数是（）

A、8 B、21 C、28 D、56

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3、若有穷数列 $a_{1}, a_{2} \dots a_{n}$ （n是正整数），满足 $a_{1} = a_{n}, a_{2} = a_{n - 1}, \dots, a_{n} = a_{1}$ 即 $a_{i} = a_{n - i + 1}$ （i是正整数，且 $1 \leq i \leq n$ ），就称该数列为“对称数列”．

(1)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的对称数列，且 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等差数列， $b_{1} = 2, b_{4} = 11$ ，试写出 $\{b_{n}\}$ 的每一项；

(2)、已知 $\{c_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \geq 1)$ 的对称数列，且 $c_{k}, c_{k + 1} \dots c_{2 k - 1}$ 构成首项为50，公差为 $- 4$ 的等差数列，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 k - 1$ 项和为 $S_{2 k - 1}$ ，则当k为何值时， $S_{2 k - 1}$ 取到最大值？最大值为多少？

(3)、对于给定的正整数 $i > 1$ ，试写出所有项数为 $2 i - 1$ 的对称数列，使得 $1, 2, 2^{2} \dots 2^{i - 1}$ 成为数列中的连续项；当 $i > 2000$ 时，并分别求出所有对称数列的前2024项和 $S_{2024}$ ．

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，过该曲线上的点 $P (3, 1)$ 作不平行于坐标轴的直线 $l_{1}$ 交双曲线的右支于另一点 $Q$ ，作直线 $l_{2} // l_{1}$ 交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限），其渐近线方程为 $x \pm y = 0$ ，且 $| A B | = | P Q |$ ，

(1)、求双曲线方程．

(2)、证明：直线 $Q B$ 过定点.

(3)、当 $P Q$ 的斜率为负数时，求四边形 $A B P Q$ 的面积的取值范围．

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5、书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ, 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[80, 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80, 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ ．

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6、如图所示，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B_{1} ⊥ B B_{1}$ ， $C B_{1} ⊥ B B_{1}$ ， $∠ A B B_{1} = ∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B B_{1} = 1$ ．

(1)、求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的余弦值；

(2)、设E、F分别是棱 $A C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ，求棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b = a - 2 b \cos C$ ．

(1)、求证： $C = 2 B$ ；

(2)、求 $2 \sin C + \cos B - \sin B$ 的最大值．

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8、用 $1, 2, 3, 4, 5$ 组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于百位数字且百位数字小于万位数字的五位数有n个，则 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} + \dots + {(1 + x)}^{n + 3}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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9、已知 $tan (α + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则 $tan 2 α =$ .

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10、在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $M$ 满足 $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ， $(x, y, z \in R$ 且 $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $x = \frac{1}{4}, z = 0, y \in [0, 1]$ 时， $B_{1} M + M D$ 的最小值为 $\sqrt{13}$ B、当 $x = y = 1, z = \frac{1}{2}$ 时，异面直线 $B M$ 与 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、当 $x + y + z = 1$ ，且 $A M = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ 时，则 $M$ 的轨迹长度为 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ D、当 $x + y = 1, z = 0$ 时， $A M$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．若 $b = 1$ ，且 $a^{2} - c^{2} = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\cos A = - \frac{1}{2 c}$ B、 $\tan A + 3 \tan C = 0$ C、角B的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、 $△ A B C$ 的外接圆面积的最小值为 $π$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，且两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，以下结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为3 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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13、“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{20}{27}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{9}$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} \begin{matrix} (2 a - 1) n + 4, n \leq 5 \\ {(4 - a)}^{n - 4} + 15, n > 5 \end{matrix} \end{array}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{20}{11}]$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{20}{11})$ C、 $(\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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15、已知函数 $f (x)$ 的部分图像如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \sin (\tan x)$ B、 $f (x) = \tan (\sin x)$ C、 $f (x) = \cos (\tan x)$ D、 $f (x) = \tan (\cos x)$

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16、已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $α ⊥ β, l / / β$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ m, m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m \subset α, l / / β, l / / m$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α, l / / β, l / / m$ ，则 $α ⊥ β$

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17、已知集合 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}, A = {2, 3}, B = {0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0}$ D、 ${1}$

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18、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 .

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19、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A B$ 边上的中线的实际长度为．

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20、下列命题中正确的是（）

A、若 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则 $| z | = 4$ B、若 $z = i + 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = - 2$ C、已知 $m$ ， $n \in R$ ， $i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n = 1$ D、若复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = 2$ ，则 $| z + i |$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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