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相关试卷

1、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 3, S_{8} = 51$ ，则 $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ 的最小值为.

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2、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面ABCD，且 $P D = C D = 2$ ，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P B C$ .试判断四面体 $E B C D$ 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(2)、设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求四棱锥 $E - H B D$ 的外接球的表面积.

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3、近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.

(1)、应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？

(2)、在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形， $B B_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ， M，N分别为 $A_{1} B_{1}$ ， AC的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线MN与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ .

(1)、 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $λ$ ；

(3)、若 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数k的取值范围.

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6、我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最大值是.

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7、下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）

A、这10年粮食年产量的极差为15 B、这10年粮食年产量的平均数为33 C、这10年粮食年产量的中位数为29 D、前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差

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8、在等腰 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ，若点M为 $△ A B C$ 的垂心，且满足 $\vec{B M} = \frac{1}{8} \vec{B A} + λ \vec{B C}$ ，则 $\cos ∠ A B C$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $m$ 满足 $m ⊄ α$ ，则“ $m ∥ α$ ”是“ $m ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 3)$ ，则（）

A、 $\vec{a} = - \frac{3}{2} \vec{b}$ B、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} = \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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11、已知向量 $\vec{A B} = (1, 3)$ ，点 $A (- 1, 2)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(0, 5)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(5, 0)$

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $A A_{1}, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点， $Q$ 是线段 $D_{1} A_{1}$ 上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、存在点 $Q$ ，使 $B, N, P, Q$ 四点共面 B、存在点 $Q$ ，使 $P Q / /$ 平面 $M B N$ C、三棱锥 $P - M B N$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、经过 $C, M, B, N$ 四点的球的表面积为 $\frac{9 π}{2}$

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13、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若复数 $z_{2}$ 满足 $|z_{2} - 2 i| = 3$ ，则 $z_{2}$ 在复平面内对应的点的轨迹为圆 D、若 $z_{1} = - 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p = 8$

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14、由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中 $∠ A P B = 120^{°}$ ，且在该区域内点 $R$ 处有一个路灯，经测量点 $R$ 到区域边界 $P A$ 、 $P B$ 的距离分别为 $R S = 4 m$ ， $R T = 6 m$ ，（m为长度单位）.陈某准备过点 $R$ 修建一条长椅 $M N$ （点 $M$ ， $N$ 分别落在 $P A$ 、 $P B$ 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

(1)、求点 $S$ 到点 $T$ 的距离；

(2)、为优化经营面积，当 $P M$ 等于多少时，该三角形 $P M N$ 区域面积最小？并求出面积的最小值.

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15、如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台 $A B E - D C F$ ，其中 $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 B C = 2 C D$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、若 $∠ E A B = \frac{π}{3}$ ，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 满足 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ．

(1)、若点 $M$ 是线段 $C D$ 上一点，且 $\vec{A M} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，求 $∠ A C D$ 的余弦值．

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \cos A - a \cos B = a + c$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $a = 2$ ，点D在边 $A C$ 上，且 $C D = 2 A D$ ，求 $B D$ 的长.

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18、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，圆 $O$ 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点 $P$ 在正六边形的边上运动， $M N$ 为圆的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是．

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19、已知正四棱台的上下底边长分别为 $2, 12 cm$ ，正四棱台体积为 $688 {cm}^{3}$ ，则此表面积为 ${cm}^{2}$

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20、写出一个同时满足①②的复数 $z =$ .① $z^{2} = \bar{z}$ ；② $z \notin R$ .

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