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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点P是 $A A_{1}$ 的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足 $D_{1} M ⊥ C P$ ，下列选项正确的是（）

A、动点M在侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 内轨迹的长度是 $\sqrt{5}$ B、三角形 $A_{1} D_{1} M$ 在正方体内运动形成几何体的体积是2 C、直线 $D_{1} M$ 与 $B C$ 所成的角为 $α$ ，则 $\tan α$ 的最小值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、存在某个位置M，使得直线 $B D_{1}$ 与平面 $A_{1} D_{1} M$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

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2、已知事件A，B满足 $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.6$ ，则（）

A、事件A与B可能为对立事件 B、若A与B相互独立，则 $P (\bar{A} B) = 0.48$ C、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = 0.8$ D、若A与B互斥，则 $P (A B) = 0.12$

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3、记 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} (n \in N^{*})$ 的数列 $\{x_{n}\}$ 称为函数 $f (x)$ 的“牛顿数列”.已知数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - x$ 的牛顿数列，且数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} = ln \frac{x_{n}}{x_{n} - 1}, x_{n} > 1$ .

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、证明数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列并求 $a_{n}$ ；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若不等式 ${(- 1)}^{n} \cdot t S_{n} - 14 \leq S_{n}^{2}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求t的取值范围.

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4、动点M到定点 $F (1, 0)$ 的距离与它到直线 $x = 4$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ，记点M的轨迹为曲线 $Γ$ .若 $P (x_{0}, y_{0})$ 为 $Γ$ 上的点，且 $y_{0} \neq 0$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的轨迹方程；

(2)、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $Γ$ 于 $C, D$ 两点，点 $C$ 在 $x$ 轴上方.
①求证： $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值；
②若 $k_{B D} = 3 k_{A C}$ ，直线 $l$ 是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A B = A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} B = \sqrt{6}$ ．

(1)、设 $D$ 为 $A C$ 中点，证明： $A C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值．

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6、人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：

外向型
内向型
男性
45
15
女性
20
10

(1)、以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．

(2)、对表格中的数据，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin C = c sin (A + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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8、我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，那么曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的曲率 $K = \frac{| f^{″} (x_{0}) |}{{[1 + {(f^{'} (x_{0}))}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}$ ．已知曲线 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ 处的曲率为；若 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，则曲线 $f (x)$ 的曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值为．

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = n a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{n} =$ .

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10、已知 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = 1$ 处有极值 $- 2$ ，则 $f (2) =$ .

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11、已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆 $O$ 的直径 $A B$ 长为 $2 \sqrt{2}$ ．若 $C$ 为底面圆周上不同于 $A, B$ 的任意一点，则下列说法中正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $6 \sqrt{2} π$ B、 $△ S A C$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ C、圆锥 $S O$ 的外接球的表面积为 $9 π$ D、若 $A C = B C$ ， $E$ 为线段 $A C$ 上的动点，则 $S E + B E$ 的最小值为 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{2}}$

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12、设复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $|z| = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、若 $Z (1, - 2)$ ，则 $z \cdot \bar{z} = 5$ C、若 $z = \sqrt{3} - 2 i$ ，则 $|z| = 7$ D、若 $z = \frac{i - 3}{1 - i}$ ，则 $Z$ 位于第三象限

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点， $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A F$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ，过点 $G$ 的直线分别与射线 $B A$ ， $B C$ 交于点 $M$ ， $N$ ， $\vec{B M} = λ \vec{B A}$ ， $\vec{B N} = μ \vec{B C}$ ，则 $λ + 2 μ$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{8}{7}$ C、 $\frac{9}{7}$ D、 $\frac{9}{5}$

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14、已知某种零件的尺寸（单位： $mm$ ）在 $[83.8, 86.2]$ 内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸 $X$ 服从正态分布 $N (85, σ^{2})$ ，且 $P (X < 83.8) = 0.15$ ，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（）

A、1700 B、1600 C、1400 D、600

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15、已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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16、定义：如果函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有C关系．

(1)、判断函数 $f (x) = \log_{2} (8 x^{2})$ 和 $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ 是否具有C关系；

(2)、若函数 $f (x) = a \sqrt{x - 1}$ 和 $g (x) = - x - 1$ 不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = x e^{x}$ 和 $g (x) = m \sin x (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上具有C关系，求实数m的取值范围．

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17、设F为抛物线 $H :$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点P在H上，点 $M (\frac{7 p}{2}, 0)$ ，若 $|P F| = |P M| = 5$ ．

(1)、求 $H$ 的方程；

(2)、过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求 $\frac{| G B |}{| G C |}$ 的取值范围．

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18、如图，将圆 $O$ 沿直径 $A B$ 折成直二面角，已知三棱锥 $P - C O D$ 的顶点 $C$ 在半圆周上， $P ， D$ 在另外的半圆周上， $O C ⊥ A B$ .

(1)、若 $O D ⊥ O P$ ，求证： $O P ⊥ C D$ ；

(2)、若 $O A = 2$ ， $∠ A O D = 30^{\circ}$ ，直线 $C D$ 与平面 $P O C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求点 $P$ 到直线 $C D$ 的距离.

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19、斐波那契数列 $(Fibonacci sequence)$ ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契 $(Leonardo Fibonacci)$ 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： $a_{0} = 1, a_{1} = 1, a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 2, n \in N^{*}), A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2024}\}, B \subseteq A$ 且 $B \neq \emptyset$ 中，则B中所有元素之和为奇数的概率为．

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20、若 ${(\sqrt{x} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为15，则 $a =$ ．

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	外向型	内向型
男性	45	15
女性	20	10

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635