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相关试卷

1、设定义域为 $[x_{1}, x_{2}]$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点 $M (x, f (x))$ 是C上任意一点，向量 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1}), \vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且满足 $x = λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} (0 < λ < 1)$ ，又设向量 $\vec{O N} = λ \vec{O A} + (1 - λ) \vec{O B}$ ，现定义函数 $y = f (x)$ 在 $[x_{1}, x_{2}]$ 上“可在标准k下线性近似”是指 $|\vec{M N}| \leq k$ 恒成立，其中 $k > 0$ 为常数.给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的法向量可以为 $\vec{a} = (1, 0)$ ；
③函数 $y = 5 x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上“可在标准1下线性近似”；
④函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $[1, 2]$ 上“可在标准k下线性近似”，则 $k \geq \frac{3}{2} - \sqrt{2}$ .
其中所有正确结论的序号为.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 1, x < 0 \\ |\log_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ， $x_{4} \cdot |x_{1} + x_{2}| + \frac{16}{x_{3} \cdot x_{4}^{2}}$ 的取值范围是..

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3、如图， $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 1$ ， $⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩ = \frac{2 π}{3}$ ，点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆弧 $A B$ 上运动，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围是.

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4、如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为 $α$ ，大正方形的面积为1，小正方形的面积是 $\frac{1}{3}$ ，则 $\sin α + \cos α =$ ．

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5、若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为．

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6、已知直线 $l : x + y - 3 = 0$ ，点 $M (3, m)$ 到直线 $l$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则 $m =$

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7、已知i为虚数单位， $3 + i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个虚根，则 $p + q =$ .

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8、已知集合 $A = \{x| \frac{3}{x - 2} < - 1\}, B = \{x | 0 < x < 3, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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9、直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，法向量为 $\vec{n} = (1, 2)$ ，则 $l$ 的一般式方程为.

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10、已知A为有限个实数构成的非空集合，设 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ， $A - A = \{a_{i} - a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ，记集合 $A + A$ 和 $A - A$ 其元素个数分别为 $|A + A|$ ， $|A - A|$ .设 $n (A) = |A + A| - |A - A|$ .例如当 $A = \{1, 2\}$ 时， $A + A = \{2, 3, 4\}$ ， $A - A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $|A + A| = |A - A|$ ，所以 $n (A) = 0$ .

(1)、若 $A = \{1, 3, 5\}$ ，求 $n (A)$ 的值；

(2)、设A是由3个正实数组成的集合且 $(A + A) \cap A = \emptyset$ ， $A^{'} = A \cup \{0\}$ ；，证明： $n (A^{'}) - n (A)$ 为定值；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 $n \in N^{*}$ ，设 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ， $b_{n} = n (A_{n})$ .已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ， $b_{n} \geq 0$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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11、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，与x轴不重合的直线l经过左焦点 $F_{1}$ ，且与椭圆G相交于 $A 、 B$ 两点，弦 $A B$ 的中点为M，直线 $O M$ 与椭圆G相交于 $C 、 D$ 两点．

(1)、若直线l的斜率为1，求直线 $O M$ 的斜率；

(2)、是否存在直线l，使得 ${|A M|}^{2} = |C M| \cdot |D M|$ 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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12、如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ，点D，E，F分别是所在棱的中点.
（1）在线段 $B B_{1}$ 上找一点 $G$ 使得平面 $G E F$ ∥平面 $D A_{1} C_{1}$ ，给出 $G$ 点的位置并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，求二面角 $E - F G - B_{1}$ 的余弦值.

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，三个角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (A) = 1$ ， $c = 2 a \cdot \cos B$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、如图，在三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ ， $A A_{1}$ 的中点，设三棱锥 $F - A D E$ 体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} : V_{2} =$

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15、如图， $A (2, 0)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (- 1, 1)$ ， $D (- 2, 0)$ ，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（）

A、曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π B、曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、弧CB所在圆的方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、弧CB与弧BA的公切线方程为 $x + y = \sqrt{2}$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x + 1, x < 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1]$

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17、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上的动点 $P$ 作圆 $O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，则 $|P A|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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18、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α, m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β, m ⊥ β, m ⊄ α$ ，则 $m$ // $α$ D、若 $α ⊥ β, m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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19、集合 $M = \{y | y = 2^{x}, x > 0\}$ ， $N = \{y | y = \log_{2} x\}$ ，那么“ $x \in M$ ”是“ $x \in N$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知集合 $P = \{x |x^{2} \leq 4\}, M = \{m\}$ ，若 $P \cap M = M$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2]\cup[2, + \infty)$

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