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相关试卷

1、设两个正态分布 $N (μ_{1} ， σ_{1}^{2}) (σ_{1} > 0)$ 和 $N (μ_{2} ， σ_{2}^{2}) (σ_{2} > 0)$ 的密度函数图象如图所示．则有

A、 $μ_{1} < μ_{2}, σ_{1} < σ_{2}$ B、 $μ_{1} < μ_{2}, σ_{1} > σ_{2}$ C、 $μ_{1} > μ_{2}, σ_{1} < σ_{2}$ D、 $μ_{1} > μ_{2}, σ_{1} > σ_{2}$

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2、下列函数求导正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(e^{- x})}^{'} = e^{- x}$ D、 ${(2 x^{3} + x^{2})}^{'} = 6 x^{2} + 2 x$

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3、已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式的二项式系数和为 $512$ ， $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + ... + a_{n} {(x - 1)}^{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = 1$ B、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ... + n a_{n} = 18$ C、 $a_{2} = 144$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + ... + |a_{n}| = 3^{9}$

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4、已知定点 $F (0, 1)$ ，动点N在直线 $l : y = - 1$ 上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知点P、A、B是曲线C上的点，且 $P A ⊥ P B$ ．
（i）若点P的坐标为 $(2 \sqrt{2}, 2)$ ，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若 $| P A | = | P B |$ ，求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当 $x_{1} + x_{2} \in [\frac{3 - e}{e - 1}, \frac{4}{e^{2} - 1}]$ 时，求 $\frac{x_{2} + 1}{x_{1} + 1}$ 的取值范围．

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6、四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = P C$ ， $∠ D P C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D = A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．

(1)、证明：A、B、M、N四点共面；

(2)、求二面角 $M - A B - P$ 的余弦值；

(3)、求平面ABMN截四棱锥 $P - A B C D$ 所得的上、下几何体的体积比．

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7、已知 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} + S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 a_{n} - 1) (2 a_{n} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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8、已知点M在直线 $l : 2 x + y + 3 = 0$ 上，点P在圆 $C : x^{2} + {\dot{y}}^{2} - 6 x = 0$ 上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为．

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9、已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为．

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10、文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为（用数字作答）．

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11、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + y) = f (x) f (y) - f (2 - x) f (2 - y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ， $f (- 2) = 0$ ，则（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 ${[f (x)]}^{2} + {[f (2 + x)]}^{2} = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (i) = - 1$

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12、将函数 $y = \sin 2 ω x (ω > 0)$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ ，下列关于 $f (x)$ 的说法一定正确的是（）

A、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 关于 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、当 $1 < ω < \frac{3}{2}$ 时， $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 上有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{3}{2}, \frac{9}{4}]$

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13、已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（）

A、众数为12 B、平均数为14 C、中位数为14.5 D、第25百分位数为12

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14、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使 $A F_{1} ⊥ P F_{1}$ ，若 $\vec{P F_{2}} = \frac{2}{5} \vec{P A}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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15、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $c = 4$ ， $b = 2$ ， $∠ B A C$ 的平分线AD的长为 $\sqrt{6}$ ，则BC边上的高AH的长为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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16、某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且“初心”队获胜的概率为 $\frac{4}{5}$ ；选“使命”队的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）

A、 $\frac{3}{11}$ B、 $\frac{8}{11}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + a (e^{x} + e^{- x}) + 3 (a > 0)$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \leq f (x + 2)$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [3, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{3}, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3]$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 为递增的等比数列， $S_{n}$ 是它的前n项和，若 $a_{1} a_{5} = 2 a_{3}$ ，且 $2 a_{4}$ 与 $a_{5}$ 的等差中项为8，则 $S_{5}$ 等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{31}{4}$ D、 $\frac{31}{2}$

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19、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $m // n$ ，则 $n // β$ C、若 $m$ ， $n$ 是两条不同的异面直线， $m / / α, n / / β$ ， $m \subset β$ ， $n \subset α$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $α // β$ ，则 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角互余

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} |=2,| \vec{b} |=1,| \vec{a} −2 \vec{b} |=2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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