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1、已知关于 $x$ 的不等式 $(ln x - 2 a x) [x^{2} - (2 a + 1) x + 1] \leq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2}{\sqrt{3}} a \cdot \sin^{2} \frac{A + C}{2} = b \cdot \sin A$ ，下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $a = 4 ， b = 5$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、当 $a - c = \frac{\sqrt{3}}{3} b$ 时， $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\cos A + \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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3、下列说法正确的是（）

A、数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2}), σ$ 越小，表示随机变量 $X$ 分布越集中 C、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots \dots, x_{n}$ 的方差为3，则 $x_{1} - 1, x_{2} - 1, x_{3} - 1, \dots, x_{n} - 1$ 的方差为3 D、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若其中一个散点为 $(m, - 0.28)$ ，则 $m = 4$

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4、设 $O$ 为原点， $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上且满足 $|O P| = \frac{3}{2} a$ ， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{7}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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5、已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $x = t$ 为函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x} - 1} (x < 0)$ 的极值点，则 $f ([t]) =$ （）

A、 $\frac{2 e}{e - 1}$ B、 $\frac{3 e^{2}}{e^{2} - 1}$ C、 $\frac{4 e^{3}}{e^{3} - 1}$ D、 $\frac{5 e^{4}}{e^{4} - 1}$

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6、已知 $A (- 2, - 2), B (1, 3)$ ，点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最大值为（）

A、 $16 - 6 \sqrt{2}$ B、 $26 + 2 \sqrt{2}$ C、 $26 + 4 \sqrt{2}$ D、32

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7、设 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{3} = a_{4} - 2 ， S_{2} = a_{3} - 2$ ，则公比 $q =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\cos ⟨3 \vec{a} + 4 \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、1

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9、复数 $\frac{5 i}{i - 2}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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10、对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得 $m = a n + b$ ，其中 $a \in N, 0 \leq b < n, b \in N$ ，我们记 $a = D (m, n), b = M (m, n)$ ．对任意正整数 $i$ ，定义 $i$ 的生成数列为 $\{T {(i)}_{n}\}$ ，其中 $T {(i)}_{n} =$ $\frac{M (i, 3^{n}) - M (i, 3^{n - 1})}{3^{n - 1}}$ ．

(1)、求 $D (2024, 9)$ 和 $M (2024, 9)$ ．

(2)、求 $\{T {(100)}_{n}\}$ 的前3项．

(3)、存在 $n_{0}$ ，使得 $T {(i)}_{n_{0}} \neq 0$ ，且对任意 $n > n_{0}, T {(i)}_{n} = 0$ 成立．考虑 $T {(i)}_{n_{0}}$ 的值：当 $T {(i)}_{n_{0}} = 1$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{array}{l} 2, n = n_{0}, \\ T {(i)}_{n}, n \neq n_{0} . \end{array}$ 当 $T {(i)}_{n_{0}} = 2$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{cases} 1, n = n_{0} + 1, \\ T {(i)}_{n - 1}, 1 < n \leq n_{0}, \\ 0, n = 1 或 n > n_{0} + 1. \end{cases}$ 若数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 和数列 $\{T {(j)}_{n}\}$ 相同，则定义函数 $f (i) = j$ ，其中函数 $f (i)$ 的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数 $f (i)$ 是增函数．
（ⅱ）求证： $f (f (i)) = 3 i$ ．

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11、如图，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0), M (2, 1)$ 是抛物线内一点，过点 $M$ 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $A, B, l_{2}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $C$ ， $D$ ，当 $M$ 恰好为线段 $A B$ 的中点时， $| A B | = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{D B}$ 的最小值．

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12、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为侧棱 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} E C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

(2)、若 $A A_{1} = A_{1} B_{1}$ ，求平面 $A_{1} E C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成二面角的大小．

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13、若不等式 $x y + y^{2} + z^{2} \geq k (x + y) z$ 对任意满足 $y + z \geq x$ 的正实数x，y，z均成立，则实数 $k$ 的最大值为．

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14、已知 $α, β \in R$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\cos (α + β) \cdot \cos (α - β) = \cos^{2} α - \cos^{2} β$ B、 $\cos (α + β) \cdot \cos (α - β) = \cos^{2} α - \sin^{2} β$ C、 $\sin (α + β) \cdot \sin (α - β) = \cos^{2} α - \sin^{2} β$ D、 $\sin (α + β) \cdot \sin (α - β) = \sin^{2} α - \sin^{2} β$

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 6$ D、 $6$

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16、已知集合 $A = \{x | |x| < 3\}, B = \{x \in N ∣ x^{2} < 11\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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17、已知集合 $S_{n} = \{X |X = (x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}), x_{i} \in N^{*}, i = 1, 2, \dots n\} (n \geq 2)$ .对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，给出如下定义：① $\overset{⃑}{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, \dots, b_{n} - a_{n})$ ；② $λ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}) (λ \in R)$ ；③A与B之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ .说明： $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 的充要条件是 $a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .

(1)、当 $n = 5$ 时，设 $A = (1, 2, 1, 2, 5), B = (2, 4, 2, 1, 3)$ ，求 $d (A, B)$ ；

(2)、若 $A, B, C \in S_{n}$ ，且存在 $λ > 0$ ，使得 $\overset{⃑}{A B} = λ \overset{⃑}{B C}$ ，求证： $d (A, B) + d (B, C) = d (A, C)$ ；

(3)、记 $I = (1, 1, \dots, 1) \in S_{20}$ .若 $A, B \in S_{20}$ ，且 $d (I, A) = d (I, B) = 13$ ，求 $d (A, B)$ 的最大值.

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18、在 $△ A B C$ 中， $a = 5$ ， $b^{2} - b c + c^{2} = 25$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小：

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b = 7$ ；条件②： $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；条件③： $A C$ 边上的高 $B H = \frac{9}{2}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x + 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x + a (ω > 0, a \in R)$ . $f (x)$ 的最大值为1，且相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .求：

(1)、函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $f (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间.

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20、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 1$ ，它们的夹角为120°．

(1)、求 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} - k \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，求实数k的取值范围．

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