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相关试卷

1、下列选项中正确的有（）

A、已知 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量长度为 $\frac{1}{2} |\vec{b}|$ ，且 $|\vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{25}{2}$ B、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = \sqrt{7}$ D、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, 3)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{8}, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (1 - 4 a^{2}) x + b (a \geq \frac{1}{2}, b \in R)$ ，当 $x \in ［ 0 ， 2]$ 时，记 $|f (x)|$ 的最大值为 $M$ ，有 $M \geq k$ ，则实数 $k$ 的最大值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4、袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用 $X$ 表示终止取球时所需的取球次数，则 $P (X = 3) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5、科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量 $b$ 进制随机数据中，以 $n$ 开头的数出现的概率为 $P_{b} (n) = {log}_{b} \frac{n + 1}{n}$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 $\sum_{n = 5}^{k} p_{16} (n) = \frac{ln 6 - ln 2}{ln 2 + ln 8} (k \in N^{*}, k > 4)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、14 B、15 C、24 D、25

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6、若 $a, b > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $3^{a} - ln b > 3^{b} - ln a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知复数 $z = \frac{2 - i}{i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4 i$ D、 $4 i$

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8、若集合 $M = \{x |ln x > 0\}, N = \{x |\frac{x}{x + 1} > 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x |x < - 1$ 或 $x > 0}$ B、 $\{x| - 1 < x < 0$ 或 $x > 1\}$ C、 $\{x |0 < x < 1\}$ D、 $\{x |x > 1\}$

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9、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 上靠近点 $C$ 的三等分点.

(1)、设 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，求 $\vec{A F} \cdot \vec{E F}$ 的值.

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $\{x ∣ x \neq 0\}$ 上不恒为零的函数，若 $f (x y) = \frac{f (x)}{y^{2}} + \frac{f (y)}{x^{2}}$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 为奇函数

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11、现定义“ $n$ 维形态复数 $z_{n}$ ”： $z_{n} = \cos n θ + i \sin n θ$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $n \in N^{*}$ ， $θ \neq 0$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

(2)、若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值；

(3)、若正整数 $m$ ， $n (m > 1, n > 2)$ ，满足 $z_{m} = z_{1}$ ， $z_{n} = z_{m}^{2}$ ，证明：存在有理数 $q$ ，使得 $m = q \cdot n + 1 - 2 q$ .

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a (c \sin C + b \sin B - a \sin A)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的周长为5，设 $D$ 为边BC中点，求AD.

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13、已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, tan ∠ B A C = \frac{3}{4}$ ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.

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14、下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）

A、这10年粮食年产量的极差为15 B、这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C、这10年粮食年产量的中位数为29 D、前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差

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15、已知函数 $f (x) = \sin x - x + a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线过原点，求a的值；

(2)、当 $x \leq 5$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围．

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、解关于 $n$ 的不等式： $a_{1} C_{n}^{0} + a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} + \dots + a_{n + 1} C_{n}^{n} < 2023$ ；

(3)、若 $c_{1} = 1, b_{n} = \frac{1}{2 a_{n}} = c_{n + 1} - c_{n}, d_{n} = \frac{1}{c_{n}} - \frac{1}{c_{n + 1}}$ ，求证：数列 $\{b_{n} d_{n}\}$ 前 $n$ 项和小于 $\frac{1}{3}$ ．

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17、设点 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{5}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $O$ 为坐标原点）． $S_{△ A O B} = 2 \sqrt{6}$

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E (0, 2)$ 作两条斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，它们分别与抛物线 $C$ 交于点 $P, Q$ 和 $R, S$ ．已知 $|E P| \cdot |E Q| = |E R| \cdot |E S|$ ，问：是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + λ k_{2}$ 为定值？若存在，求 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由．

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18、四边形ABCD是平行四边形， $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，四边形ABEF是梯形， $B E // A F$ ，且 $A B ⊥ A F$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} A F = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．

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19、智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
智能体温计测温	36.6	36.6	36.5	36.5	36.5	36.4	36.2	36.3	36.5	36.3
水银体温计测温	36.6	36.5	36.7	36.5	36.4	36.4	36.2	36.4	36.5	36.4
序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
智能体温计测温	36.3	36.7	36.2	35.4	35.2	35.6	37.2	36.8	36.6	36.7
水银体温计测温	36.2	36.7	36.2	35.4	35.3	35.6	37	36.8	36.6	36.7

（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；

（2）医学上通常认为，人的体温不低于 ${37.3}^{0} C$ 且不高于 $38^{0} C$ 时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是 ${37.3}^{0} C$ ，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.

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20、若数集 $S$ 的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集 $S$ 的超子集．已知集合，记 $A_{n} = \{1, 2, 3 \dots, n\} (n \in N^{*}, n \geq 3)$ ，记 $A_{n}$ 的超子集的个数为 $a_{n}$ ，当 $A_{n}$ 的超子集个数为221个时， $n =$ ．

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