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相关试卷

1、将数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 随机填入 $3 \times 3$ 的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）

A、 $\frac{8}{9!}$ B、 $\frac{12}{9!}$ C、 $\frac{24}{9!}$ D、 $\frac{48}{9!}$

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2、已知四面体 $P - A B C$ 的每条棱长都为2，若球 $O$ 与它的每条棱都相切，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $2 π$

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3、已知 $sin (α + β) = 3 cos (α - β), tan α tan β = - \frac{1}{5}$ ，则 $tan α + tan β =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- 5$ C、 $\frac{12}{5}$ D、12

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4、嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}) (a > 0)$ 的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的最大值是 $a$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 D、方程 $f (x) = 2 a$ 有2个实数解

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (λ, - 1), \vec{c} = (μ, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{c})$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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6、在复平面内，复数 $z_{1}$ 对应的点和复数 $z_{2} = 1 + 2 i$ 对应的点关于实轴对称，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、 $- 3 + 4 i$ B、 $- 3 - 4 i$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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7、已知集合 $U = {x ∣ 1 < x < 9, x \in N}, ∁_{U} A = {4, 5, 6}$ ，则（）

A、 $2 \in A$ B、 $3 \notin A$ C、 $6 \in A$ D、 $7 \notin A$

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8、我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对 $(a_{1}, a_{2})$ 表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n})$ 称为n维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot b_{n})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n}) \cdot (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot b_{n}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ ； $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}}$ .已知向量 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot a_{n})$ 满足 $a_{n} = n$ ，向量 $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot b_{n})$ 满足 $b_{n} {=2}^{n}$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, \cdot \cdot \cdot c_{n})$ ，其中 $c_{n} = \ln \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ .
（i）求证： $c_{n} > \frac{1}{n + 1}$ ；
（ii）当 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ 时，证明： $|\vec{c}| > \sqrt{\frac{n}{2 n + 4}}$ .

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $|A_{1} F| = 3, |A_{2} F| = 1$ ．

(1)、求椭圆的方程和离心率；

(2)、点 $P$ 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} P F$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (2 a - 2) x - 4 a \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a = 1$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in (2, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq k | \ln x_{1} - \ln x_{2} |$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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11、在① $\tan A (1 + \frac{2}{a \cos B}) = \tan B (\frac{1}{\cos A} - 1)$ ， ② $a \cos B = b (\frac{2}{3} - \cos A)$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ${(\vec{A C})}^{2} + \vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 6$ ， $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ，且_____________，求 $a$ 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6, A C = 4, B C = 2 \sqrt{7}, D, E$ 分别是边AB，AC上的点， $A E = 2$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = 2$ ，点 $P$ 是线段DE的中点，且 $\vec{P A} = x \vec{P B} + y \vec{P C}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ .

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13、已知函数 $f (x) = x e^{1 - x}$ ，若方程 $f (x) + \frac{1}{f (x) + 1} = a$ 有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(- 3, - 1) \cup (- 1, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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14、已知 $a = \frac{e^{\frac{1.1}{3}}}{1.1}$ ， $b = e^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \frac{13}{11}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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15、设函数 $f (x)$ 的定义域为R ， $f (x + 1) - 3$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ．若 $f (- 1) + f (0) = 1$ ，则 $f (\frac{2023}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{37}{12}$ B、 $\frac{11}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、定义：如果集合 $U$ 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k} (k \in N^{*}),$ 且 $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{k} = U$ ，那么称子集族 $\{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}\}$ 构成集合 $U$ 的一个 $k$ 划分.已知集合 $I = {x \in N | x^{2} - 6 x + 5 < 0}$ ，则集合 $I$ 的所有划分的个数为（）

A、3 B、4 C、14 D、16

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17、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$

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18、对于数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $\exists M > 0$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，有 $|x_{n}| \leq M$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 是有界的.当正整数n无限大时，若 $x_{n}$ 无限接近于常数a，则称常数a是数列 $\{x_{n}\}$ 的极限，或称数列 $\{x_{n}\}$ 收敛于a，记为 $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = a$ .单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.

(1)、证明：对任意的 $x \geq - 1$ ， $n \in N^{*}$ ， ${(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x$ 恒成立；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式为： $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ， $b_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .
（i）判断数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数 $e = \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ，以 $e$ 为底的对数称为自然对数，记为 $\ln x$ .证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} < \ln (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ 恒成立.

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19、已知函数 $f (x) = x (e^{x} - a) - a \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有2个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $x_{2} e^{x_{2}} > 2 x_{1} e^{x_{1}}$ ，求a的取值范围.

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20、师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本 $30 x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} + \frac{34}{3}, 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{32 x}{x + 1} + x, 2 < x \leq 5. \end{matrix}$ ，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

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