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相关试卷

1、三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $P A + P B = 4$ ，则三棱锥体积的最大值是.

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2、计算： $i - i^{2} + i^{3} - i^{4} + i^{5} - i^{6} + \cdot \cdot \cdot - i^{2024} =$ （ $i$ 为虚数单位）.

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3、已知曲线 $C$ 上的点满足：到定点 $(1, 0)$ 与定直线 $y$ 轴的距离的差为定值 $m$ ，其中，点 $A$ ， $B$ 分别为曲线 $C$ 上的两点，且点 $B$ 恒在点 $A$ 的右侧，则（）

A、若 $m = \frac{1}{2}$ ，则曲线 $C$ 的图象为一条抛物线 B、若 $m = 1$ ，则曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ C、当 $m > 1$ 时，对于任意的 $A (x_{1}, y_{0})$ ， $B (x_{2}, y_{0})$ ，都有 $|x_{1}| > |x_{2}|$ D、当 $m < - 1$ 时，对于任意的 $A (x_{1}, y_{0})$ ， $B (x_{2}, y_{0})$ ，都有 $|x_{1}| > |x_{2}|$

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4、如图，在三棱锥 $P - E D F$ 的平面展开图中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，正方形 $A B C D$ 的边长为2，则在三棱锥 $P - E D F$ 中（）

A、 $△ P E F$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ B、 $P D ⊥ E F$ C、平面 $P E F ⊥$ 平面 $D E F$ D、三棱锥 $P - E D F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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5、已知均值为 $(2, 5)$ 的多组样本点数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ … $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot n)$ 经最小二乘法得到的回归直线 $y = 2 x + 1$ .现删去样本点数据 $(2, 7)$ ，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（）
参考数据：回归直线 $y = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

A、斜率改变 B、截距不变 C、斜率不变 D、截距改变

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6、若正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{b} = b c$ ， $a^{b} ln a = c$ ，则（）

A、 $a \geq b$ B、 $a \geq c$ C、 $b \geq c$ D、 $c \geq b$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $\sum_{k = - 2023}^{2025} f (k) =$ （）

A、 $- 8098$ B、 $- 8096$ C、0 D、8100

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8、边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 中点， $M$ 是 $D B$ 靠近 $B$ 的四等分点， $P$ 在正方体内部或表面， $\vec{D P} \cdot (\vec{E F} + \vec{M F}) = 0$ ，则 $|\vec{D P}|$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、在 $△ A B C$ 中， $tan A$ 和 $tan B$ 是方程 $x^{2} - m x + n = 0, (n \neq 1)$ 的两个根，则 $tan C =$ （）

A、 $\frac{m}{n - 1}$ B、 $\frac{m}{1 - n}$ C、 $\frac{n}{1 - m}$ D、 $\frac{n}{1 - m}$

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10、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点到直线 $l$ ： $x - y - 4 = 0$ 的距离之差为2，则 $E$ 的焦距是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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11、已知 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 存在常数项，且常数项是 $20 a^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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12、公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} > 0$ ， $a_{4} = 2 a_{3} + 3 a_{2}$ ，则 $q =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、3 D、9

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13、若集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{0, 2, 3, 4\}$ ，则 $B \cap A$ 的子集个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - a) ln (x - 1)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) < x + 1$ ；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上有且仅有一个极值点，求正实数 $a$ 的取值范围．

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，右焦点到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为1，两动点 $A, B$ 在双曲线 $C$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M (2 m, m) (m \neq 0)$ ．

(1)、证明：直线 $A B$ 的斜率 $k$ 为定值；

(2)、 $O$ 为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2, B C = D C = P D = 1$ ， $∠ A B C = 90 °, A B ∥ C D$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D, P D ⊥ B C$ ．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值．

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17、某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
性别
是否喜欢篮球
合计
喜欢
不喜欢
男生
450
150
600
女生
150
250
400
合计
600
400
1000

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)、用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：参考数据
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、定义离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{16} = 1 （ m > 16 ）$ 是“西瓜椭圆”，则 $m =$ .若“西瓜椭圆” $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $y = k x$ 与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆过点 $F$ ，则 $k =$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $A D = B D = 2 D C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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20、 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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性别	是否喜欢篮球		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	450	150	600
女生	150	250	400
合计	600	400	1000

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828