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相关试卷

1、已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD能够容纳的最大球的表面积为 $36π$ ，则正四面体ABCD的内切球的半径为．

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2、对于任意的 $θ \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}], 2 \cos (2 θ + \frac{2π}{3}) + a \sin θ + \sqrt{3} a \cos θ \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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3、若 $(m - 2 i) (1 - i)$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数 $m =$ ．

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4、如图，已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ，且 $0 < λ < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{B E}$ B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $\cos 〈 \vec{A E}, \vec{B E} 〉 = \frac{\sqrt{13}}{65}$ C、对任意 $λ \in (0, 1)$ ， $\vec{A E} ⊥ \vec{B E}$ 不成立 D、若 $\vec{A C} = x \vec{A E} + y \vec{B E}$ ，则 $- 2 < x y < 0$

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点 $G$ 在上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、存在点 $G$ ，使得平面 $E F G / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ B、不存在点 $G$ ，使得直线 $A D_{1} / /$ 平面EFG C、三棱锥 $G - B E F$ 的体积不变 D、存在点 $G$ ，使得 $D G ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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6、已知球 $O$ 的半径 $R = 13$ ，球面上有三点A，B，C，满足 $A B = 12 \sqrt{3}, A C = B C = 12$ ，点 $D$ 在球面上运动，则当四面体 $D - A B C$ 的体积取得最大值时， $D C =$ （）

A、 $6 \sqrt{13}$ B、 $13 \sqrt{2}$ C、13 D、 $5 \sqrt{14}$

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7、若实数 $x > 2 y > 0$ ，则 $\frac{3 y}{x - 2 y} + \frac{x}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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8、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $x$ ，方差为 $s^{2}$ ，若样本数据 $a x_{1} + 2, a x_{2} + 2, a x_{3} +$ $2, \dots, a x_{n} + 2$ 的平均数为 $4 x (a > 0)$ ，方差为 $9 s^{2}$ ，则平均数 $x =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $C_{1} D_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、已知 $2 \cos 2 α + \sin α + 3 = 0$ ，则 $\sin α =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{4}{5}$

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11、已知向量 $\vec{m} = (1, 1), \vec{n} = (3, λ)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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12、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0\}, B = \{x| - 2 \leq x \leq 1, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[- 2, 1]$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (ln \frac{a}{2})$ ；
（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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14、已知函数 $f (x) = |x - \frac{3}{x} + 2| + m$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，求 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的值；

(2)、是否存在非零实数 $m$ ，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b] (0 < a < b)$ 上的取值范围为 $[\frac{2 m}{a}, \frac{2 m}{b}]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A B$ 为正三角形，且侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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16、已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

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17、“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．

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18、已知定义在实数集R上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ ， $f (1) = 0, f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 成中心对称 C、 $f (2024) = 1012 \times 2023$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f^{'} (k) = 1012 \times 2024$

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19、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是线段 $A D_{1}$ 的中点，点 $M, N$ 满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C}$ ， $\vec{B_{1} N} = μ \vec{B_{1} C_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{2}{3}$ 时，过 $E, M, N$ 三点的平面截正方体得到的截面多边形为正方形 B、存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得平面 $A D_{1} M ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ C、存在 $λ, μ \in (0, 1)$ ，使得平面 $M E N$ $∥$ 平面 $A B_{1} C$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 到平面 $A_{1} N C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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20、下列命题中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X, X \sim B (10, 0.7)$ ，当 $X = 7$ 时概率最大 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ D、已知 $P (A) = \frac{1}{3}, P (\bar{A}| B) = \frac{3}{4}, P (\bar{A}| \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) = \frac{2}{3}$

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