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相关试卷

1、2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量 $F (x)$ （单位：百套）与时间 $x$ （一个月内的第 $x$ 天）的部分数据如下表所示：
第 $x$ 天
3
8
15
24
$F (x) /$ 百套
5
6
7
8

(1)、请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量 $F (x)$ （单位：百套）与时间 $x$ 的关系，说明你的理由．函数模型：① $F (x) = k x + b$ ；② $F (x) = m \sqrt{x + 1} + n$ ．

(2)、经调查发现，日销售价格 $M (x)$ （单位：元/套）与时间 $x$ （一个月内的第 $x$ 天）的函数关系近似表示为 $M (x) = 40 + \frac{t}{\sqrt{x + 1}}$ （常数 $t > 0$ ）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为 $f (x)$ （单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低．

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2、（1）已知 $0 < a + b < 2$ ， $- 2 < b - a < 1$ ，求 $3 a + b$ 的取值范围；
（2）已知 $a$ ， $b$ 都是正实数，比较 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ 与 $a + b$ 的大小．

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3、已知集合 $A = \{x ∣ a - 4 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 9}{x + 1} \leq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的奇函数，且当 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则当 $- 2 < x < 0$ 时， $f (x) =$ ，不等式 $f (x - 1) + f (x) < 0$ 的解集是．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 m x + 3, x \leq 1, \\ m x + 2, x > 1, \end{matrix}$ 对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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6、若函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，且 $f (2 m - 1) = 7$ ，则 $m =$ ．

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7、已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $(2 m + t) x^{2} - (n - t) x - 1 < 0$ 的解集为 $(- 1, \frac{1}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 m + n = 1$ B、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{m} + \frac{m}{n}$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{m + 1} + \frac{1}{n + 2}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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8、享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数 $f (x) = [x]$ 为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数．例如， $[0.5] = 0$ ， $[2.3] = 2$ ．下列说法正确的是（）

A、 $f (- 1.3) = - 1$ B、若 $f (a) = f (b)$ ，则 $|a - b| < 1$ C、函数 $g (x) = x - [x]$ 的值域是 $[0, 1)$ D、不等式 ${[x]}^{2} - [x] - 2 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$

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9、下列说法错误的是( ).

A、函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 2, 2)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3)$ B、函数 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1} (x > - 1)$ 的最小值为3 C、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 D、函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ 上单调递减

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10、定义非空数集 $M$ 的“和睦数 $H$ ”如下：将 $M$ 中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的“和睦数”是 $5 + 4 - 3 + 2 - 1 = 7$ ， $\{2, 4\}$ 的“和睦数”是 $4 + 2 = 6$ ， $\{1\}$ 的“和睦数”是1．对于集合 $A = \{n |\frac{6 - n}{n} \in N, n \in N}$ ，其所有子集的“和睦数”的总和为（）

A、82 B、74 C、12 D、70

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11、数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（）

A、两位中省钱小能手是钦钦 B、两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C、两位中省钱小能手是莎莎 D、两位中谁是省钱小能手与购买数量有关

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12、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，且在 $(- \infty, 2]$ 上单调递增， $a = f (π)$ ， $b = f (\sqrt{3})$ ， $c = f (0)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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13、定义：函数 $M (x) = max {f (x) ， g (x)}$ ，即 $M (x)$ 表示函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者．已知函数 $f (x) = x^{2} - 2$ ， $g (x) = x + 4$ ，则 $M (x)$ 的最小值为（）

A、0 B、7 C、4 D、2

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14、已知命题 $p$ ：关于 $x$ 的不等式 $(a - 1) x^{2} - a x + a + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ．那么，其成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 1$ B、 $a \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq a \leq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $a < - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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15、命题“实数不都是有理数”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x \notin Q$ B、 $\exists x \in R$ ， $x \in Q$ C、 $\forall x \in R$ ， $x \in Q$ D、 $\forall x \in R$ ， $x \notin Q$

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16、已知集合 $A = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ， $B = \{y ∣ y = \sqrt{x + 1}\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $[- 1, + \infty)$

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17、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m - \frac{1}{3}}$ 为偶函数，则 $m$ 的值为（）

A、-2或1 B、-2 C、1 D、多个取值

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B ， C$ 是线段 $O B$ 的中点（O为原点）， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程．

(2)、过点C的动直线与椭圆相交于 $P ， Q$ 两点．在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ ，使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在，求出点 $T$ 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

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19、若函数 $f (x)$ 在定义域 $[a, b]$ 上的值域为 $[f (a), f (b)]$ ，则称 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”．已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 5 x, 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + m, 2 < x \leq 4 \end{cases}$ 是“ $Ω$ 函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[4, 14]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[10, + \infty)$

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20、如图（1），已知菱形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，沿对角线 $B D$ 将其翻折，使 $∠ A B C = 90 °$ ，设此时 $A C$ 的中点为 $O$ ，如图（2）.

(1)、求证：点 $O$ 是点 $D$ 在平面 $A B C$ 上的射影；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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第 $x$ 天	3	8	15	24
$F (x) /$ 百套	5	6	7	8