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相关试卷

1、已知 $s i n α + s i n β = a, c o s α + c o s β = b (a b \neq 0)$ ，则 $c o s (α - β) =$ ， $s i n (α + β) =$ .

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2、 $\frac{t a n 8 0^{∘} - t a n 2 0^{∘}}{1 + \frac{1}{2 c o s 2 0^{∘}}}$ 的值为.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c = b (2 c o s A + 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 B$ B、若 $a = \sqrt{3} b$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $\frac{1}{t a n B} - \frac{1}{t a n A}$ 的最小值为1

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4、已知 $α, β, γ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $s i n α + s i n γ = s i n β$ ， $c o s β + c o s γ = c o s α$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $c o s (α + γ) = \frac{1}{2}$ B、 $c o s (β + γ) = - \frac{1}{2}$ C、 $β - α = \frac{π}{3}$ D、 $β - α = - \frac{π}{3}$

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5、若 $\frac{1 + t a n （ θ - \frac{π}{4} ）}{1 - t a n （ θ - \frac{π}{4} ）} = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6、下列条件能确定唯一一个三角形 $A B C$ 的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ ， $a = 8$ ， $B C$ 边上中线长 $A D = 4 \sqrt{3}$ . B、 $S = b c c o s A$ ， $a = 4 = (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) b c$ . C、 $t a n A + t a n B + t a n C - 2 \sqrt{3} t a n A t a n B c o s C = 0$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ . D、 $c = b c o s A, a = 2, S_{△ A B C} = 1$ .

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7、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{4})$ ， $c o s^{2} α - s i n^{2} α = \frac{1}{7}$ ，且 $3 s i n β = s i n (2 α + β)$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8、已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $s i n (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $t a n α - t a n β = 2$ ，则 $s i n α s i n β =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9、若 $s i n (α + β) + c o s (α + β) = 2 \sqrt{2} c o s (α + \frac{π}{4}) s i n β$ ，则（）

A、 $t a n (α - β) = 1$ B、 $t a n (α + β) = 1$ C、 $t a n (α - β) = - 1$ D、 $t a n (α + β) = - 1$

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10、已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$ ，设函数 $f (x) = c o s π x + c o s \frac{π}{3}$ ，则 $f (\frac{a_{1}}{2023}) + f (\frac{a_{2}}{2023}) + f (\frac{a_{3}}{2023}) + ⋯ + f (\frac{a_{2022}}{2023}) =$ 。

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11、已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{2 π}{3}), g (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6}) (- \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{5 π}{12})$ ，则下列结论正确的是（）

A、若动直线 $x = m$ 与 $f (x), g (x)$ 的图象的交点分别为 $A, B$ ，则 $| A B |$ 的长可为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、若动直线 $y = m$ 与 $f (x), g (x)$ 的图象的交点分别为 $A, B$ ，则 $| A B |$ 的长恒为 $\frac{π}{4}$ C、若动直线 $y = \pm m$ 与 $f (x), g (x)$ 的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为 $\frac{π}{2}$ D、若 $f (m_{0}) = \frac{3}{5}$ ，则 $g (\frac{m_{0}}{2} - \frac{π}{12}) = \frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{5}}{10}$

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12、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sqrt{\frac{(1 + s i n α) (1 + c o s α)}{(1 - s i n α) (1 - c o s α)}} = 4 \sqrt{2} + 1$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{16}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2} - 1}{8}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} - 1}{16}$

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13、已知函数 $f (x) = 2 c o s x (s i n x + \sqrt{3} c o s x) - \sqrt{3}$ .

(1)、若 $f (α + \frac{π}{4}) = \frac{10}{13}$ ，求 $f (2 α - \frac{π}{12})$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x + \frac{π}{12}) + f (x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} f (x + \frac{π}{12}) f (x - \frac{π}{6})$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值.

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14、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x$ ， $y$ ，恒有 $f (x + y) = f (x) f (\frac{π}{2} - y) + f (\frac{π}{2} - x) f (y)$ 成立.请写出满足上述条件的函数 $f (x)$ 的一个解析式.

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15、设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则下列计算正确的是（）

A、 $c o s (α + β) < c o s (α - β)$ B、若 $s i n (α + \frac{π}{4}) c o s (α + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{6}$ ，则 $t a n α = 2$ C、若 $t a n α + t a n β = \frac{1}{c o s α}$ ，则 $2 β - α = \frac{π}{2}$ D、若 $\frac{c o s 2 α}{1 + s i n 2 α} + \frac{1}{t a n β} = 0$ ，则 $α + β = \frac{3 π}{4}$

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16、已知 $a \in (0, π)$ ，且 $s i n a + c o s a = \frac{1}{5}$ ，则 $t a n 2 a =$ （）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $- \frac{12}{7}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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17、

(1)、已知角 $α$ 终边上一点 $P (- 4, 3)$ ，求 $\frac{c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (\frac{3}{2} π - α)}{t a n (- π + α)}$ 的值；

(2)、化简求值： $(l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) \cdot (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) + {(\frac{64}{27})}^{- \frac{1}{3}}$

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18、已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $t a n α + \frac{1}{t a n α} = - \frac{10}{3}$

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值；

(3)、求 $2 s i n^{2} α - s i n α c o s α - 3 c o s^{2} α$ 的值．

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19、已知 $t a n x = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{s i n x}{c o s 3 x c o s 2 x} + \frac{s i n x}{c o s 2 x c o s x} =$ .

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20、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 c o s π x (x \leq 0) \\ f (x - 2) + 1 (x > 0) \end{array}$ ，则 $f (\frac{23}{3}) =$ ．

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